资源描述：
《对直线的倾斜角和斜率及直线方程的理解》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、对直线的倾斜角和斜率及直线方程的理解（833200）新疆奎屯市第一高级中学特级教师王新敞在平面直角坐标系中，对于一条与x轴相交的直线，如果把x轴绕着交点按逆时针方向旋转到和直线重合时所转的最小正角记为α，那么α就叫做直线的倾斜角.当直线和x轴平行或重合时，我们规定直线的倾斜角为0°.因此，直线倾斜角的取值范围是0°≤α＜180°.倾斜角α不是90°的直线，它的倾斜角的正切叫做这条直线的斜率，常用k表示，即k=tanα（α≠90°）；倾斜角是90°的直线没有斜率；倾斜角不是90°的直线都有斜率，其取值范围是（－∞，+∞）.设F1（x1，y1）、
2、F2（x2，y2）是直线上不同的两点，则向量=（x2－x1，y2－y1）称为直线的方向向量.向量=（1，）=（1，k）也是该直线的方向向量，k是直线的斜率.特别地，垂直于轴的直线的一个方向向量为＝(0,1).求直线斜率的方法：①定义法：已知直线的倾斜角为α，且α≠90°，则斜率k=tanα.②公式法：已知直线过两点P1（x1，y1）、P2（x2，y2），且x1≠x2，则斜率k=.③方向向量法：若=（m，n）为直线的方向向量，则直线的斜率k=.平面直角坐标系内，每一条直线都有倾斜角，但不是每一条直线都有斜率.对于直线上任意两点P1（x1，y1）
3、、P2（x2，y2），当x1=x2时，直线斜率k不存在，倾斜角α=90°；当x1≠x2时，直线斜率存在，是一实数，并且k≥0时，α=arctank；k＜0时，α=π+arctank.直线方程的五种形式：①点斜式：，②斜截式：③两点式：，④截距式：，⑤一般式：.例1已知△ABC的三个顶点是A（3，－4）、B（0，3）、C（－6，0），求它的三条边所在的直线方程.分析：一条直线的方程可写成点斜式、斜截式、两点式、截距式和一般式等多种形式.使用时，应根据题目所给的条件恰当选择某种形式，使得解法简便.由顶点B与C的坐标可知点B在y轴上，点C在x轴上，
4、于是BC边所在的直线方程用截距式表示，AB所在的直线方程用斜截式的形式表示，AC所在的直线方程利用两点式或点斜式表示均可，最后为统一形式，均化为直线方程的一般式.解：①因△ABC的顶点B与C的坐标分别为（0，3）和（－6，0），故B点在y轴上，C点在x轴上，即直线BC在x轴上的截距为－6，在y轴上的截距为3，利用截距式，直线BC的方程为+=1，化为一般式为x－2y+6=0.②由于B点的坐标为（0，3），故直线AB在y轴上的截距为3，利用斜截式，得直线AB的方程为y=kx+3.又由顶点A（3，－4）在其上，所以－4=3k+3.故k=－.于是直线
5、AB的方程为y=－x+3，化为一般式为7x+3y－9=0.③由A（3，－4）、C（－6，0），得直线AC的斜率kAC==－.利用点斜式得直线AC的方程为y－0=－（x+6），化为一般式为4x+9y+24=0.例2已知两直线a1x+b1y+1=0和a2x+b2y+1=0的交点为P（2，3），求过两点Q1（a1，b1）、Q2（a2，b2）（a1≠a2）的直线方程.分析：利用点斜式或直线与方程的概念进行解答.解：∵P（2，3）在已知直线上，∴2a1+3b1+1=0，2a2+3b2+1=0.∴2（a1－a2）+3（b1－b2）=0，即=－.∴所求直线
6、方程为y－b1=－（x－a1）.∴2x+3y－（2a1+3b1）=0，即2x+3y+1=0.点评：此解法运用了整体代入的思想，方法巧妙.例3一条直线经过点P（3，2），并且分别满足下列条件，求直线方程：（1）倾斜角是直线x－4y+3=0的倾斜角的2倍；（2）与x、y轴的正半轴交于A、B两点，且△AOB的面积最小（O为坐标原点）.分析：（2）将面积看作截距a、b的函数，求函数的最小值即可.解：（1）设所求直线倾斜角为θ，已知直线的倾斜角为α，则θ＝2α，且tanα＝，tanθ＝tan2α＝，从而方程为8x－15y+6=0.（2）设直线方程为＋＝
7、1，a＞0，b＞0，代入P（3，2），得＋＝1≥2，得ab≥24，从而S△AOB＝ab≥12，此时＝，∴k＝－＝－.∴方程为2x+3y－12=0.点评：此题（2）也可以转化成关于a或b的一元函数后再求其最小值.例4过点(2,1)作直线分别交x,y轴正并轴于A，B两点.(1)当ΔAOB面积最小时，求直线的方程;(2)当
8、PA
9、´
10、PB
11、取最小值时，求直线的方程.解：(1)设所求的直线方程为(a>0,b>0),由已知.于是=,∴SΔAOB=³4,当且仅当,即a=4,b=2时取等号,此时直线的方程为,即x+2y─4=0.(2)解法一:设直线:y─1
12、=k(x─2),分别令y=0,x=0,得A(2─,0),B(0,1─2k).则
13、PA
14、´
15、PB
16、==³4,当且仅当k2=1,即k=±1时,取最小值,又k<0,∴k=
