初三数学寒假课程1-5讲

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1、初三数学寒假课程第一讲二次函数的认识与待定系数法、配方法【问题探索】某果园有100棵橙子树，每一棵树平均结600个橙子，现准备多种一些橙子树以提高产量，但是如果多种树，那么树之间的距离和每一棵树所接受的阳光就会减少．根据经验估计，多种一棵树，平均每棵树就会少结5个橙子．(1)假设果园增种棵橙子树，那么果园共有多少棵橙子树?这时平均每棵树结多少个橙子?(2)如果果园橙子的总产量为个，那么请你写出与之间的关系式．答案：（1）共有棵橙子树，平均每棵树结个橙子；（2）与之间的关系式为：化简得：。【新课引入】提问：1、在式子中，是的函数吗

2、？若是，与我们以前学过的函数相同吗？若不相同，那是什么函数呢？答案：根据函数的定义，可知是的函数，与以前学过的一次函数和反比例函数不同，猜想它是二次函数。2、请写一个一次函数关系式和一个反比例函数关系式，通过比较三个函数关系式，猜想是什么函数，并说出该函数的式子特征。一次函数（）反比例函数（）未知项的最高次数是未知项的最高次数是未知项最高次数是（其中）答案：比较结果见上表，由表格可猜想该函数是二次函数，该式子的特征是①含两个变量（自变量）、（因变量）；②式子右边有三项：二次项、一次项、常数项，最高次项是次。总结：一般地，形如(是

3、常数，)的函数叫做的二次函数.注意：定义中只要求二次项系数不为零（必须存在二次项），一次项系数、常数项可以为零。因此，最简单的二次函数形式是举例：和都是二次函数．我们以前学过的正方形面积与边长的关系，圆面积与半径的关系等，都是二次函数．71初三数学寒假课程3、是二次函数吗？答案：是，因为化简能变成（）的形式。4、通过二次三项式的配方，改变函数的表示形式。答案：，它反过来也能变成（）的形式，因此，它还是二次函数。这个式子可以让我们之间看出的最大值或最小值。如：中，当时，有最大值。5、一次函数、反比例函数都有图象，二次函数有图象吗？

4、怎么画出它的图象呢？答案：二次函数也有图象，画二次函数的图象应该①列表；②描点；③连线。6、请画出（、）的图象，观察图象的形状是什么？观察图象与轴、轴的交点坐标，以及图象的最高点（顶点）坐标。答案：图象是抛物线，与轴交点（-100,0）、（120,0），与轴的交点（0,60000），顶点（10,60500），同一个函数可以有三种表达形式，从解析式可以分别看出图象的哪些特征？【总结归纳】一、二次函数图象上点的横坐标、纵坐标分别与函数中的、对应也就是说：1、二次函数图象上点的坐标满足二次函数的函数关系式，即代入解析式两边相等；2、满

5、足二次函数解析式的每一组的实数对，也对应着一个点，这些点就组成了二次函数的图象，解析式与图象的一些特征点对应关系如下图所示。二、二次函数的三种表达形式以及它们之间的转化关系图像与轴交点交点式因式分解图像与轴交点一般式71初三数学寒假课程图像的顶点配方法顶点式三、待定系数法求函数关系式1、已知图象上三个普通点的坐标，设一般式，解三元一次方程组可求解析式中的待定系数；2、已知图象的顶点坐标和一个普通点的坐标，设顶点式，解二元一次方程组可求待定系数；3、已知图象与轴的两个交点坐标和一个普通点的坐标，设交点式，解方程可求待定系数。4、后

6、面学过二次函数图象特征和性质之后还有待定系数法的其他解法。四、配方法其实就是二次三项式的配方，配方依据是“完全平方”公式——。配方法在如下几个方面使用较多：1、用于求二次三项式的最值；2、用于解一元二次方程；3、用于二次函数解析式变形，变一般式为顶点式，方便找图象的顶点和函数的最值。【精选例题】（一）二次函数的概念例1、（1）函数y=（m＋2）x＋2x－1是二次函数，则m=．（2）下列函数中是二次函数的有（）①y=x＋；②y=3（x－1）2＋2；③y=（x＋3）2－2x2；④y=＋x．A．1个B．2个C．3个D．4个解析：（1）

7、中，只有二次项系数时，才是二次函数，，故答案为；（2）①④中未知项的最高次数都是1次，不是2次，因此不是二次函数；②③通过化简成一般形式，发现它们符合且，所以答案为B。前思后想：一个函数是不是二次函数，关键看两个方面，①最高次项为2次，化简后符合一般形式；②二次项系数不等于0.牛刀小试：1．已知函数y=ax2＋bx＋c（其中a，b，c是常数），当a时，是二次函数；当a，b时，是一次函数；当a，b，c时，是正比例函数．2．当m时，y=（m－2）x是二次函数．71初三数学寒假课程3．下列不是二次函数的是（）A．y=3x2＋4B．y=

8、－x2C．y=D．y=（x＋1）（x－2）答案：1、，，；2、；3、C.（二）根据等量关系列二次函数关系式例21、正方形的边长是5，若边长增加x，面积增加y，求y与x之间的函数表达式．解析：等量关系：增加的面积=新正方形面积—原正方形面积，则整理得前思后想：根据