初三数学寒假课程8(杭州分公司)-中点问题

《初三数学寒假课程8(杭州分公司)-中点问题》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在行业资料-天天文库。

1、学有方初三数学·寒假课程第八讲中点问题教学目标（1）帮助学生系统性的复习初中阶段所学的所有关于中点的知识点。（2）使学生掌握中点在各类型题目中的应用。（3）使学生理解并掌握如何利用中点做辅助线。教学重点如何利用中点做辅助线教学难点如何利用中点做辅助线教学方法建议讲练结合，讲授、讨论结合．选材程度及数量课堂精讲例题搭配课堂训练题课后作业A类（3）道（5）道（3）道B类（4）道（8）道（6）道C类（1）道（3）道（3）道一、知识梳理1.与中点有关的内容与中点有关的内容主要包括三角形的中位线、梯形的中位线、直角三角形

2、斜边上的中线等.（1）等腰三角形底边的中线、底边的高与顶角的角平分线“三线合一”。（2）三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半；.（3）梯形的中位线平行于两底，且等于两底和的一半；（4）直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半；（5）弦的中点与垂径定理；2.中点四边形（1）顺次连接四边形四边的中点得到一个平行四边形；（2）顺次连接对角线相等的四边形四边的中点得到一个菱形；（3）顺次连接对角线互相垂直的四边形四边中点得到一个矩形；（4）顺次连接对角线互相垂直且相等的四边形四边中点得到一个正方形；二、方法归类

3、（1）等腰三角形的底边中点：构造三线合一的基本图形。（2）直角三角形斜边中点：作斜边中线的基本图形。25学有方初三数学·寒假课程（3）有中线时：加倍中线构造平行四边形的基本图形。（4）涉及到面积问题时，中点可以联想到平分面积。（5）梯形与中点有关的问题：①已知对角线中点时，将顶点与这个中点连接与另一底相交于一点，把梯形问题转化为三角形问题；②已知一腰上中点时，把顶点与中点连接并延长与另一底相交；或过这腰中点作另一腰的平行线，把梯形问题转化为平行四边形或者三角形问题来解；或取梯形另一腰中点，构成梯形中位线问题.③

4、取梯形对角线的中点与一腰或者一底的中点连接，构成三角形的中位线，这个方法通常同样适用于普通的四边形。三、课堂精讲例题（一）直角三角形斜边的中线1.性质:直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半2.如果一个三角形一边中线等于这条边的一半，那么这个三角形是直角三角形3.直角三角形斜边的中线将直角三角形分成两个等腰三角形例1如图1在△和△中，已知分别为边和的中点，求证：【难度分级】B类【试题来源】经典例题【选题意图】本题主要是考察学生对直角三角形斜边中线性质的运用和对“三线合一”的运用.【解题思路】本题出现了直角三角形斜

5、边的中点，那么容易联想到斜边中线的性质，另外，在已知平分的情况下证明垂直（或者已知垂直证明平分），会使我们很容易的联想到等腰三角形的“三线合一”。【解析】因为是边上的中点，且因此可知与是△和△的公共斜边上的中线，而已知是△边上的中线，欲证，只需证明△为等腰三角形，即证25学有方初三数学·寒假课程证:∵在△和△中，是边上的中点∴又∵是的中点，∴【搭配课堂训练题】1.如图2，在四边形中，为线段的中点，连接试问：与有何关系？说明理由.【难度分级】A类〖试题来源〗经典例题〖答案〗解：=证：∵∴△与△是直角三角形，∵为线

6、段的中点，∴(直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半)∴=2.如图3，在锐角△中，分别是边上的高，相交于，的中点为，的中点为，连接、求证：直线是线段的垂直平分线.【难度分级】C类〖试题来源〗经典例题〖答案〗证：如图，连结,∵分别是边上的高25学有方初三数学·寒假课程∴∴为直角三角形∵为的中点∴(直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半)∵,∴(SSS)∴,∴直线是线段的垂直平分线（二）中线倍长的用法方法：延长中线，使所延长部分与中线相等，然后往往需要连接相应的顶点，则对应角对应边都对应相等。常用于构造全等三角形。中线

7、倍长法多用于构造全等三角形和证明边之间的关系。例2如图，在△中，为边上的中线，求证：【难度分级】A类【试题来源】经典例题【选题意图】本题主要是考察学生对中线倍长辅助线的运用.【解题思路】涉及三角形中线问题时，常采用延长中线一倍的办法，即中线倍长法。它可以将分居中线两旁的两条边、和两个角和集中于同一个三角形中，以利于问题的获解。【解析】要证明，就是证明，也就是证明两条线段之和大于第三条线段，而我们只能用“三角形两边之和大于第三边”，但题中的三条线段共点，没有构成一个三角形，不能用三角形三边关系定理，25学有方初三

8、数学·寒假课程因此应该进行转化。待证结论中，出现了，即中线应该加倍。证明：延长至，使，连，则 在△和△中， ∴△≌△() ∴ 又在△中， ∴，即例3如图6，在△中，为边上的中线，交于点，交于点，且满足，求证：【难度分级】B类【试题来源】经典例题【选题意图】本题主要是考察学生对中线倍长辅助线以及等角对等边的知识.【解题思路】首先，从结论出发，证明两条线段相等最常见的方法有两个：（1）证明