初等数论中蕴含的数学思想

《初等数论中蕴含的数学思想》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。

1、初等数论中蕴含的数学思想摘要：通过对初等数论中的某些问题的解决思路的总结概括，以及对其中重要定理或引理的证明过程的回顾，探讨了数论中蕴含的几类数学思想方法，即：转化、整体、配对、群论思想方法及整数矩阵在初等数论中的应用。关键字：初等数论;数学思想方法;整除MathematicalThinkinginElementaryNumberTheory Abstract:Byelementarynumbertheoryproblemsinsomeoftheideassummedup.Andwereviewthep

2、roofprocessofsomeimportanttheoremsorlemmas.ItisdiscussedthatseveralmathematicsthoughtwayinElementarytheory.Thatis,conversion,overall,matchingmaterials,groupsandgrouprepresentationsthinkingmethodandintegermatrixintheapplicationofelementarynumbertheory.Key

3、words:elementarytheory,mathematicalwayofthinking，division9数论，这门古老而又常新的学科既是典型的纯粹数学，又是日益得到广泛应用的新“应用数学”.在数论中，初等数论是以整除理论为基础，研究整数性质和方程（组）整数解的一门数学学科，是一门古老的数学分支.它展示着近代数学中最典型、最基本的概念、思想、方法和技巧.目前，初等数论在计算机科学、代数编码、密码学、组合数学、计算方法等领域内得到了广泛的应用，成为计算机科学等相关专业不可缺少的数学基础.数论的魅

4、力在于它可以适合小孩到老人，只要有算术基础的人均可以研究数论.初等数论貌似简单，但真正掌握并非易事，它的内容严谨简洁，方法奇巧多变，其中蕴含了丰富的数学思想方法.本文以初等数论中重要的定理的证明为据，配以具体的数论问题，谈谈初等数论中蕴含的转化、整体、归纳、群论思想方法及整数矩阵在初等数论中的应用.1转化思想方法转化是一种常用的数学思想方法.转化是指问题之间的相互转化，或者将问题的一种形式转化为另一种形式，或者把复杂问题转化成较简单问题、将陌生问题转化为已解决或熟悉的问题[1].通过恰当的化归转化不仅能

5、够顺利地解决原问题，而且有助于培养学生科学的思维习惯.整除是数论中的基本概念，此问题是数论中比较简单的一种类型.有时我们需要判断几个分式的和是一个整数，这样直接求其是整数比较困难，因而常常化为整除问题解决.例1证明对于任意整数，数是整数.证明又由于两个连续整数的乘积是2的倍数，三个连续整数的乘积是3的倍数，并且，所以有和即是整数.从历史上来看，不定方程问题的求解是推动数论发展的最主要课题.有的不定方程问题直接求解或证明比较困难，因而常常转化为整除问题解决.9例2（第35届美国中学数学竞赛题）满足联立方程

6、的正整数的组数是（）01234解（质因数分解法）由方程得.,,为整数，且.将和代入方程得，即，，.从而得，.故满足联立方程是正整数组有两个，即和，应选.这说明数学问题上的许多问题，都可以转化为整除问题.另外，整除问题也可以转化为其它问题.我们知道同余理论是初等数论的核心，有时整除问题转化为同余问题解决，思路更清晰、自然、计算更简洁.例3试判断能被3整除吗？解，，，，不能被3整除.1整体化思想方法Euler定理[2],,则.这是初等数论的一个基本定理，有着广泛的应用.其证明如下：若是模的一个简化剩余系，则

7、也是模的一个简化剩余系，于是，即证.9Euler定理的证明虽然十分简单，但其中包含了初等数论中常用的一个解题方法，即“整体思想”.整体化思想方法，就是把单个对象始终放在整体对象构成的系统中加以考虑，通过系统对象之间的整体联系或整体特征，寻求原问题的解决途径[3].在解题过程中，常常运用这一种思路：以完全剩余系为例，即及，，，为模的两个完全剩余系，则恰与，，，中的某一数同余，于是与同余，由此找到证明的途径.例4设和分别是模的一组完全剩余系，且，求证：不是模的一组完全剩余系.证明假设，是模的一组完全剩余系.

8、是模的一组完全剩余系，则：同理有：..又，也是模的一组完全剩余系，则有：，又，矛盾！证毕.例5设整数，证明：，即在数列中，与互素的正整数之和是.证明设在中与互素的个整数是，则，因此，集合与都是由中与9互素的整数组成，即这两个集合中的元素完全相同，所以从而因此，即证.1配对思想方法配对思想方法，就是将整体对象中的满足某种特性的对象进行组合配对，再利用配对后的特性解决原问题[1].定义[2]欧拉函数是定义在正整数集上的函数，等于序列中与互素的正