中考圆专题讲练5圆与相似(一)——求线段的长度

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1、专题讲练5圆与相似（一）——求线段的长度【例1】如图，已知AB=AC，点O在AB上，⊙O过点B，分别与边BC．AB交于D．E两点，过D点作DF⊥AC，垂足为F。（1）判断DF与⊙O的位置关系，并证明。（2）若AC与⊙O相切于点G，⊙O的半径为3，CF=1，①求BD的长；②求AC的长。证：（1）证∠OBD＝∠ODB＝∠ACB，OD//AC，∠ODF＝，∴DF与⊙O相切。（2）①；②；证四边形ODFG为正方形，，证ΔCDF∽ΔBED，，∴。证ΔOBD∽ΔABC，∴。【例2】已知:如图,在△ABC中,AB＝AC,AE是角平分线,BM平分∠ABC交AE于点M,经过B．M两点的⊙O

2、交BC于点G,交AB于点F,FB恰为⊙O的直径.(1)求证:AE与⊙O相切;(2)当BC＝4,cosC＝时,求⊙O的半径.证：（1）连结OM，证,∥.易证（2），证,，设⊙的半径为r，则。证∽。，。解得。1．如图，在Rt△ABC中，∠ABC=900，D是AC的中点，⊙O经过A．B．D三点，CB的延长线交⊙O于E。（1）求证：AE=CE；（2）EF与⊙O相切于点E，交AC的延长线于点F，若CD=CF=2cm。求⊙O的直径。证：(1)连ED，证ED垂直平分AC，∴AE=CE(2)证ED2＝AD·DF=2×4=8,ED=，AE=2．如图，△ABC内接于⊙O，过点A的直线交⊙O于

3、点P，交BC的延长线于点D，AB2=AP·AD。（1）求证：AB=AC（2）如果∠ABC=600，⊙O的半径为1，且P为弧AC的中点，求线段AD的长。证：(1)ΔABP∽ΔADB，∠APB＝∠ABC＝∠ACB，ΔABC为等腰Δ。(2)ΔABC为等边Δ，∠APB＝60°，∠ABP＝∠CBP＝30°，∠BAP＝，故BP为⊙O的直径，BP＝2，PA＝1，AB＝，AD＝3．如图，直线MN交⊙O于A．B两点，AC是直径。AD平分∠CAM，交⊙O于D，过D作DE⊥MN于E点。（1）求证：DE是⊙O的切线（2）若DE=6cm，AE=3cm，求⊙O的半径。证：（1）连OD．DC，证∠DA

4、E＝∠OAD＝∠ODA，OD//AE；（2）；易求，证ΔADE∽ΔACD，，∴AC＝15，K4．如图，已知⊙O的直径AB=4。过B点作⊙O的切线MN，D．C是⊙O上的两点，连接AD．BD．CD和BC。（1）求证：∠CBN=∠CDB；（2）若DC是∠ADB的平分线，且∠DAB=150，求DC的长。证：（1）连AC，∠CDB＝∠CAB，∠CAB+∠CBA＝，∠CBN+∠CBA＝，　∴（2）作CK⊥AD于K，证＝∠CAB＝∠CBA，∠CAD＝，，，证CK＝DK，,∴5．如图，AB为⊙O的直径，PQ与⊙O相切于点T，过A点作AC⊥PQ于C点，交⊙O于D点。（1）求证：AT平分∠B

5、AC（2）若AD=2，TC=，求⊙O的半径。证：（1）连OT，OT//AC，∠OAT＝∠OTA＝∠TAC（2）连BD，BD//TC，OT⊥BD，BD＝2CT＝，AB＝，R＝26．如图，AB．BC．CD分别与⊙O相切于E、F、G三点，且AB∥CD，连接OB．OC，延长CO交⊙O于点M，过点M作MN∥OB交CD于N点。（1）求证：MN是⊙O的切线。（2）当OB=6cm，OC=8cm时，求⊙O的半径及MN的长。证：（1）证∠ABC+∠BCD＝，∠ABO＝∠CBO，∠BCO＝∠DCO∠CBO+∠BCO＝＝∠BOM＝∠CMN（2）连OF，，证ΔCOB∽ΔCMN，即7．如图，已知⊙O

6、是△ABC的外接圆，AB是⊙O的直径，D是AB延长线上的一点，AE⊥CD交DC的延长线于E，CF⊥AB于点F，且CE=CF。（1）求证：DE是⊙O的切线。（2）若AB=6，BD=3，求AE和BC的长。证：（1）连OC，∴∥，∴（2），，证ΔAEC∽ΔACB，,∴8．如图，AB．AC分别是⊙O的直径和弦，点D为劣弧AC上一点，DE⊥AB于点H，交⊙O于点E，交AC于点F。点P为ED延长线上一点，连PC。（1）若PC与⊙O相切，判断△PCF的形状，并证明。（2）若D为弧AC的中点，且，DH=8，求⊙O的半径。证：（1）连OC，∠OCA＝∠OAC，∠OCA+∠PCF＝，∠PFC

7、+∠OAC＝，∠PCF＝∠PFC，（2）设，则，证，则，9．如图，AB为⊙O的直径，点D为⊙O上一点，CD=BD。过D点作DE⊥AC，垂足为E点，延长DE交BA的延长线于P点。（1）求证：DE为⊙O的切线。（2）若AB=6，AD=，求PE的长。证：（1）证，∠ODE＝∠DEC＝（2）证ΔAED∽ΔADB，，ΔPEA∽ΔPDO，10．如图，已知⊙O的半径为6cm，射线PM经过点O，OP=10cm，射线PN与⊙O相切于点Q，A．B两点同时从点P出发，点A以5cm/s的速度沿射线PM方向运动，点B以4cm/s的速度沿射线PN方向运动