2011届高三数学三角函数的图象与性质

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1、第三节　三角函数的图象与性质考纲点击1.能画出y＝sinx，y＝cosx，y＝tanx的图象，了解三角函数的周期性.2.理解正弦函数、余弦函数在区间[0,2π]上的性质(如单调性、最大值和最小值以及与x轴的交点等)，理解正切函数在区间内的单调性.热点提示1.三角函数的图象在每年的高考中都有考查，应熟练掌握各个三角函数的图象.2.三角函数的周期性、最值、单调性是高考重点考查的内容，应重点掌握.3.多以选择题、填空题的形式考查，属容易题.周期函数(1)周期函数的定义对于函数f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的每一个值

2、时，都有，那么函数f(x)就叫做周期函数．叫做这个函数的周期．(2)最小正周期如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个，那么这个就叫做f(x)的最小正周期．(3)正弦函数、余弦函数、正切函数的图象和性质f(x＋T)＝f(x)非零常数T最小的正数最小正数函数y＝sinxy＝cosxy＝tanx图象定义域x∈Rx∈Rx∈R且x≠＋kπ，k∈Z值域R{y

3、－1≤y≤1}{y

4、－1≤y≤1}正弦函数和余弦函数的图象的对称轴及对称中心与函数图象的关键点有什么关系？提示：y＝sinx与y＝cosx的对称轴方程中的x都是它们取得最大值或最小值

5、时相应的x，对称中心的横坐标都是它们的零点．【答案】B【答案】A【答案】D求下列函数的定义域：(1)求y＝lg(sinx－cosx)的定义域；【自主探究】(1)要使函数有意义，必须使sinx－cosx>0.方法一：利用图象．在同一坐标系中画出[0,2π]上y=sinx和y=cosx的图象，如图所示．在[0,2π]内，满足sinx=cosx的x为，再结合正弦、余弦函数的周期是2π，所以定义域为方法二：利用三角函数线，如图，MN为正弦线，OM为余弦线，要使sinx>cosx，即MN>OM，则(在[0,2π]内)．∴定义域为方法三：si

6、nx-cosx=将视为一个整体，由正弦函数y=sinx的图象和性质可知解得，k∈Z.所以定义域为，(2)要使函数有意义，必须有，故所求函数的定义域为【方法点评】1.求三角函数定义域常借助两个工具，即单位圆中的三角函数线和三角函数的图象，有时也利用数轴，对于含有正弦、余弦函数的复合函数定义域，仍然是使解析式有意义即可．2．求三角函数定义域时，常常归结为解三角不等式组．【思路点拨】题目所给解析式中x的系数都为负，把x的系数变为正数，解相应不等式求单调区间．【思路点拨】(1)化为一个角的一种函数值，再利用公式求T.(2)由公式建立k的不

7、等式，求k的最值．(2)利用周期解决问题时，作法是通过求周期的步骤，建立已知周期与参数的关系式，通过解方程或不等式求得结果．【答案】B【答案】D【答案】A3．(2009年浙江高考)已知a是实数，则函数f(x)＝1＋asinax的图象不可能是()【解析】函数的最小正周期为T=，∴当

8、a

9、>1时，T<2π.当0<

10、a

11、＜1时，T>2π，观察图形中周期与振幅的关系，发现选项D不符合要求．故选D.【答案】D【答案】B【答案】101．三角函数和其他函数一样，重点研究它的解析式、性质(定义域、值域、奇偶性、周期性、单调性和对称性)、图象及应用

12、．这是整个复习过程的主线．2．三角函数单调性的确定一般先将函数式化为基本函数的标准式，然后通过同解变形或利用数形结合的方法求解，若对函数利用描点画图，则根据图形的直观性可迅速获解．3．三角函数周期的求法(1)定义法直接利用周期函数的定义求周期．(2)公式法三角函数sinx、cosx和tanx的周期分别为2π、2π和π.(3)转化法对于较为复杂的三角函数，可通过恒等变形转化为y＝Asin(ωx＋φ)＋K，y＝Acos(ωx＋φ)＋K，y＝tan(ωx＋φ)＋K类型，再利用公式法求得．(4)求三角函数式的值域主要有三条途径：①将sin

13、x或cosx用所求变量y来表示，如sinx＝f(y)，再由

14、sinx

15、≤1得到一个关于y的不等式

16、f(y)

17、≤1，从而求得y的取值范围；②将y用sinx或cosx来表示，或配方或换元或利用函数的单调性或基本不等式来确定y的取值范围；③利用数形结合或不等式法求解．注意化归思想的应用以及应用过程中的等价转化．课时作业点击进入链接