等比数列精品(教案)

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1、一、知识概要1.等比数列的概念（1）定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比都等于同一个常数，这样的数列叫等比数列，这个常数叫等比数列的公比，记作。（2）表示形式：，，（）（3）等比中项如果三个数成等比数列，则叫与的等比中项．则2．通项公式：＝3．前项和公式：推导方法为：错位相减（加）法4．等差数列的判定方法（1）定义法：（是不为0的常数）是等比数列（2）中项公式法：是等比数列（3）通项公式法：（均不为0的常数）是等比数列（4）前项和公式法：（）是等比数列5．常用性质（1）若数列，为等比数列，则数列，，，，

2、，(为非零常数)均为等比数列.（2）对任何，在等比数列中，有特别的，当时，便得到等比数列的通项公式（3）若，则=.特别的，当时，得（4）若是有穷等比数列，则与首末两项等距离的两项之积都相等，且等于首末两项之积5即。（5）在等比数列中，每隔项取出一项，按原来的顺序排列，所得的数列仍为等比数列，且公比为(例如：，，，仍为公比的等比数列)（6）如果是等比数列，公比为，那么，，，也是等比数列，其公比为（7）等比数列的单调性①或是递增数列。②或是递减数列。③是非零常数列。6．前项和常用的基本性质（1）在等比数列中，当项数为()时

3、，（2）若数列为等差数列，则记，，，则，，仍成等比数列，且公差为二、知识运用（一）等比数列基本量的运算【例1】①公差为0的等差数列是等比数列；②公比为的等比数列一定是递减数列；③三数成等比数列的充要条件是；④三数成等差数列的充要条件是，以上四个命题中，正确的有（A）A．1个B．2个C．3个D．4个【例2】设等比数列的前项和为，已知，，求和.【解】或或5【变式训练】已知递增等比数列中，=128，求项数的值.【解】或（舍）（二）等比数列的性质【例3】（1）等比数列中，，则16（2）等比数列中，，则（3）递增等比数列中，，则

4、（4）等比数列的前项和，若，则【变式训练】等比数列中，，，求的值。【解】（三）等比数列的判定【例4】（全国）已知数列的前项和为，且。求证：（1）数列为等比数列；（2）求数列的通项公式【解】（1）（2）【变式练习】（09陕西）已知数列的首项，，…．（1）证明：数列是等比数列；（2）求数列的前项和．【解】（1）5；又数列是以为首项，为公比的等比数列．（2）由（1）知，即．设…①则…②（错位相减）由①②得．又…．数列的前项和．（四）等差等比数列的综合应用【例5】已知数列、分别是等差数列、等比数列，（1）分别求数列和的通项公式

5、；（2）设，求证：数列是等差数列，并求出其公差和首项；（3）设，其中，求的值．【解】（1）（2）（3）【变式训练】等比数列中，已知，。（1）求数列的通项公式；5（2）若分别为等差数列的第3项和第5项，试求数列的通项公式及前项和.【解】（1）（2）5