等比数列定义教案

《等比数列定义教案》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在应用文档-天天文库。

1、1．等比数列的定义   如果数列满足：是常数），则称这个数列为等比数列，常数叫做等比数列的公比．   在理解等比数列的定义时注意：例如   （1）若是等比数列，则其各项均不为零，公比也不为零。其任意一项与它“隔项”（例如：与）的符号相同。（2）定义给出了等比数列的一个递推关系：   （3）定义给出了证明一个数列是否为等比数列的方法，即：当时，证明是否等于一个不等于零的常数来判断这个数列是否为等比数列．2．等比数列的通项公式等比数列的通项公式为：（其中是第一项，是公比）．因为等比数列的通项公式可以写成，所以可以这样认为：如果数列中是n的指数形式的函数，则这个数列是等比数

2、列．当时，如果（或），这个数列是递增（或递减）的；当时，如果（或），这个数列是递减（或递增）的；当时，这个数列是常数列；当时，这个数列是摆动数列．3．等比中项等比中项：若三个数成等比数列，那么G叫做的等比中项，且（或）．　　也可以得出这样的结论：a、b、c成等比数列（a、b、c均不为零）．（注：若不注明a、b、c不为零，只能是a、b、c为等比数列的必要条件）．4．等比数列的表示如果一个数列是等比数列，公比为，那么该数列可表示为：   ①列举法：，…可简写成（）②通项公式法：（）③递推公式法：　　　　已知（或数列任一项），及   ④图象法：表示数列（）的各点均在

3、函数的图象上．（其中）且是一些孤立的点．5．等比数列的判定方法   （1）（为常数；       为等比数列   （2）（为公比，C为非零常数，为等比数列   （3）        为等比数列【有关等比数列概念和公式的题目】例1在正数、之间（）插入个实数，使它们成为一个等比数列，求公比．分析 在正数、之间（）插入个实数形成一个数列，此时是这个数列的第一项，是这个数列的第项．解：由题意，知当为奇数时，当为偶数时，说明 两个正数之间插入奇数个实数，使它成为等比数列，就有两种可能，因为可构成两个等比数列。例2在等比数列中，已知，求该数列的第11项解：设首项为，公比

4、为，则（2）÷（1）得：，将代入（1），得  ，所以，说明在等比数列中，有五个元素：，其中与是两个基本的量，数列中其他各项可以用与表示，由通项公式，前项和公式及已知条件列出方程及方程组是解决这一类问题的基本方法。例3在等比数列中，（1），则      ；（2），则     ；解：（1）∵，∴（2）         说明：小题（1）使用了等比中项的概念，也可推广为：若成等差数列，则成等比数列。小题（2）可考虑用特殊数列法，设为常数列，则有，所以例4已知：四个正数成等比数列，其积为16，中间两项的和为5，求公比及这四个数。解：因

5、为四个数都是正数，可设四个数为、、、所以，可得又因为，所以，或，这数列的公比为4，或。由上可知，这四个数为，1，4，16；或16，4，1，。点评：已知三个数成等比数列，且已知三个数之积时，一般设此三个数为，，，其中为公比，这样立即就可求出的值，从而减少解题的计算量。但若已知四个数成等比数列及这四个数的积，一般不将这四个数设成，，，因为这种设法即假设四个数的公比为，容易漏掉公比为负数的情况，造成漏解。本题因为题设中已知四个数都为正数，所以也可以像上面一样去解。如果题目改为：有四个数依次成等比数列，其积为，中间两项和为4，求这四个数和公比。解：设这四个数为、、、，

6、则由（2）得：  （3）得：，所以 （4）由（4）可解出：，或将的值代入（2），可得或所以，这四个数为－16，8，－4，2；或2，－4，8，16。说明：本题如假设四个数为，则由（1）可知：，由（2）知：，消得：，因此，所以不存在，故公比不存在，这四个数也不存在。很明显，后一种解法是错误的，原因就在于公比为负数，而假设中的公比一定为正。例5设数列是各项为正的等比数列，公比，且，问数列是等差数列还是等比数列？并请说明理由？解：设的首项为，则：因为数列是各项为正的等比数列，所以公比，所以不为零，此时，所以数列是以为首项，为公比的等比数列．说明：（1）

7、判断一个数列是不是等比数列，一般情况下可以从定义出发，即对任意正整数都有（其中为不等于零的常熟）；（2）题目条件改变：“数列是等比数列，且公比”，其它条件不变，问数列是等差数列还是等比数列．解：，当时，，此时，所以数列市以为首项，为公比的等比数列；当时，，此时是各项为0的等差数列（本题中有同学会遗漏的情况，因为时，首项为0,这时数列就不是等比数列）．【等差数列、等比数列的综合题目】例1设，则数列（  ）A．是等差数列但不是等比数列B．是等比数列但不是等差数列C