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1、课题等比数列学习内容与过程复习引入：1．等差数列的定义：－=d，（n≥2，n∈N）2．等差数列的两个通项公式：(或=pn+q(p、q是常数))3．几种计算公差d的方法：d=－==4．等差中项：成等差数列5．数列的前n项和：，知识点1，2，4，8，16，…，263;①5，25，125，625，…；②1，－，…；③对于数列①，=;=2（n≥2）对于数列②，=;=5（n≥2）对于数列③，=·；（n≥2）共同特点：从第二项起，第一项与前一项的比都等于同一个常数1．等比数列：一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常
2、数，那么这个数列就叫做等比数列.这个常数叫做等比数列的公比；公比通常用字母q表示（q≠0），即：=q（q≠0）｛｝成等比数列=q（,q≠01°“从第二项起”与“前一项”之比为常数(q，q≠0)2°隐含：任一项3°q=1时，{an}为常数例1下面四个数列：（1）1，1,2,4,8,16,32,64；（2）在数列中，=2,=2；（3）常数列a,a,a,...；（4）在数列中，=q；其中是等比数列的有答案：（4）2.等比数列的通项公式7由等比数列的定义，有：；；；…………………（1）——已知等比数列的首项和公比就可以得出任何一项；（2）
3、——通项公式的推广式，则已知等比数列的任意两项就可以求出其他的任意一项推广：——求公比q的方法（3）既是等差又是等比数列的数列：非零常数列．（4）等比定理：q====...==（5）等比数列基本量的求法：和q是等比数列的基本量，只要求出这两个基本量，其他量便可求出。——；q=（6）等比数列与指数函数：，即,与指数函数类似，可借助指数函数的图像和性质来研究例2求下列各等比数列的通项公式：（1）=-2,=-8解：，（2）=5,且2=-3解：（3），，，求n（答案;n=6）变式1：求下面等比数列的第4项与第5项：（1）5，－15，45，
4、……；（2）1.2，2.4，4.8，……；（3），…….解：（1）∵q==－3,=5∴==5·（－3）7∴=5·（－3）=－135，=5·（－3）=405.（2）∵q==2,=1.2∴==1.2×2∴=1.2×2=9.6,=1.2×2=19.2（3）∵q=∴==×（）∴=×（）=,=×（）=（4）∵q=1÷,=∴==·（）=∴=.变式2：一个等比数列的第9项是，公比是－，求它的第1项.解：由题意得=,q=－∵=q8,∴=（－）,∴=29163.等比数列的性质（1）单调性：当q>1,>0或01
5、,<0,或00时,{}是递减数列;当q=1时,{}是常数列;当q<0时,{}是摆动数列;（2）等比中项：如果在与中间插入一个数G，使，G，成等比数列，那么G应满足：由定义得，即：；反之，若，则。由此可得：（ab）成等比数列注意：由上述公式也可看出异号的两个数没有等比中项，只有同号的才有（3）在等比数列中，若m+n=p+q(m,n,p,q∈N)，则，特别地，若m+n=2p，则推广：例3已知为等比数列，若，，求（答案：=或）变式1：等比数列的前三项的和为168，，求的等比中项（答案：）变式2：已知为等比数列，若，且，求的值
6、（答案：6）7（4）若数列为等比数列，则数列（其中为常数）也为等比数列，其公比是q若数列为等比数列，为公比是t的等比数列，则也是等比数列，其公比为若数列为等比数列，也是等比数列，其公比为（5）若数列为等比数列，则下标成等差数列且公差为m的项组成了公比为的等比数列推广：m，n，p（都为正整数）成等差数列，则成等比数列（6）若数列为等比数列，连续相邻k项的和（或积）构成公比为的等比数列，例如，,，...；，,，...（7）若数列为各项都是正数的等比数列，数列是公差为的等差数列4.判断一个数列为等比数列的方法（1）定义法：=q(常数，n
7、≥2，n∈N）为等比数列（2）等比中项法，也称递推法：（n≥2，n∈N，）为等比数列（3）通项法：为n的指数型函数，即为等比数列注意：证明一个数列为等比数列只能通过定义法与等比中项法例4：已知无穷数列求证：（1）这个数列是等比数列；（2）这个数列中的任一项是其后第5项的变式1：数列的前n项和记为，已知；证明：（1）是等比数列；（2）变式2：数列的前n项和记为，且，；求数列的通项公式75.等比数列的设项方法（1）通项法：设数列的通项公式，即设=)（2）对称设：主要针对有限项。若所给等比数列为2n项，则可设为：，此数列的公比为；若所给
8、等比数列为2n+1项，则可设为：，此数列的公差为q；（3）等差、等比数列综合运算问题。例5：有四个数，前三个数成等比数列，后三个数成等差数列，第一个数与第四个数的和为21，中间两个数的和为18，求这四个数（答案：3,6,12,18或）变式：有四个正
