结构力学第05章虚功原理与结构位移计算

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1、第五章虚功原理与结构位移计算§5-1应用虚力原理求刚体体系的位移1、推导位移计算一般公式的基本思路第一步：由刚体体系的虚位移原理（理论力学）得出刚体体系的虚力原理。并由此讨论静定结构由于支座移动而引起的位移计算问题。第二步：讨论静定结构由于局部变形引起的位移。由刚体体系的虚力原理导出其位移计算公式。第三步：讨论静定结构由于整体变形引起的位移。应用第二步导出的局部变形引起的位移计算公式，再应用叠加原理就可以推导出整体变形引起的位移计算公式。2、结构位移计算概述（1）结构位移的种类绝对位移：线位移和角位移——杆件结构中某一截面位置或方向的改变。相对位移：相对线位移和相对角位移——两个截面位移的差

2、值或和。广义位移：绝对位移和相对位移的统称。FPC’DD’ABC⊿CH⊿CVφCφCD⊿DV⊿CD（2）引起位移的原因荷载作用；温度变化和材料涨缩；支座沉陷和制造误差。（3）位移计算的目的检验结构的刚度：位移是否超过允许的位移限制。为超静定结构计算打基础。其它：如施工措施、建筑起拱、预应力等。（4）体系（结构）的物理特性线性变形体系（线弹性体）：*应力、应变满足虎克定律；*变形微小：变形前后结构尺寸、诸力作用位置不变，位移计算可用叠加原理；*体系几何不变，约束为理想约束。非线性体系：*物理非线性；*几何非线性（大变形）。（5）变形体位移计算方法及应满足的条件方法：用虚功原理推导出位移计算公式

3、。计算时应满足的条件：静力平衡；变形协调条件；物理条件。3、虚功原理的一种应用形式——虚力原理（虚设力系，求位移）（1）虚功的概念功的两个要素——力和位移W=FP×⊿功=力×相应位移FPFP相应位移⊿虚功使力作功的位移不是由该力本身引起的，则：作功的力与相应于力的位移彼此独立无关。虚功=力×相应于力的位移独立无关FP1FP2M1FR1FR2FR3力状态⊿2⊿1φ1c1c2c3位移状态（2）两种状态既然力与位移彼此独立无关，故可将力与位移视为两种独立的状态：力状态、位移状态。外力虚功可表示为：W=FP1×△1+FP2×△2+M1×φ1+FR1×c1+FR2×c1+FR3×c3=∑FP×⊿FP：

4、包括力状态中的所有力（力偶）及支座反力，称为广义力。△：包括位移状态中的与广义力相应的广义位移。（3）刚体体系虚功原理（虚位移原理、虚力原理）对于具有理想约束的刚体体系，其虚功原理为：设体系上作用任意的平衡力系，又设体系发生符合约束条件的无限小刚体体系位移，则主动力在位移上所作的虚功总和恒等于零。即：W=0理想约束——约束力在可能位移上所作的功恒等于零的约束，如：光滑铰链、刚性链杆等。刚体——具有理想约束的质点系。刚体内力在刚体的可能位移上所作的功恒为零。虚功原理（又称虚位移原理、虚力原理）用于讨论静力学问题非常方便，是分析力学的基础。因为虚功原理中平衡力系与可能位移无关，所以既可把位移视为

5、虚设的，也可把力系视为虚设的。根据虚设的对象不同，虚功原理有两种应用形式，解决两类不同的问题。虚功原理的两种不同应用，不但适用于刚体体系，也适用于变形体体系。（4）虚设（拟）力状态——求位移例1：图示伸臂梁，支座A向上移动一已知距离c1,现在拟求B点的竖向线位移ΔB。解：已给位移状态;虚设力状态，在拟求位移ΔB方向上加一单位荷载FP=1，形成平衡力系。c1△BFP=1FR1=-b/a虚功方程：△B·1+c1·FR1=0由平衡方程求出：FR1=-b/a△B=FP·c1=b/a·c1注：1、虚设力系，应用虚功原理，称为虚力原理。若设FP=1，称为虚单位荷载法。2、虚功方程在此实质上是几何方程，即

6、利用静力平衡求解几何问题。3、方程求解的关键，在于拟求⊿方向虚设单位荷载，利用力系平衡求出与c1相应的反力,即利用平衡方程求解几何问题。上述方法也可称为“单位荷载法”c1△BFP=1FR1=-b/a4、通过上例可推出静定结构支座移动时，位移计算的一般公式。注：因为静定结构在支座移动作用下，不产生反力、内力，也不引起应变；所以属于刚体体系的位移问题，可用刚体虚功原理求解。总结:支座移动时静定结构的位移计算当支座有给定位移ck时（可能不止一个），（a）沿拟求位移⊿方向虚设相应单位荷载，并求出单位荷载作用下的支座反力FRK。（b）令虚拟力系在实际位移上作虚功，写虚功方程：（c）由虚功方程，解出所求

7、位移：(5-3)(5-4)例:图示三铰刚架，支座B下沉c1，向右移动c2。求铰C的竖向位移⊿CV和铰左右截面的相对角位移φC。l/2l/2lc1c2⊿CVφCl/2l/2lc1c2⊿CVφC实际状态FP=11/21/21/41/4虚拟状态⊿CV=-∑FRKcK=-[-1/2×c1–1/4×c2]=c1/2+c2/4(↓)l/2l/2lc1c2⊿CVφC实际状态φC=-∑FRKcK=-[-1/l×c2]=c2/