线性方程组解的存在唯一性

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1、§5.1线性微分方程组解的存在唯一性定理Existence&UniquenessTheoremsofLinearODEs掌握高阶线性微分方程与线性微分方程组的关系。理解线性微分方程组解的存在唯一性定理。熟练掌握解的逐次逼近序列的构造方法。本节要求/Requirements/5.1.1记号与定义/SymbolandDefinition/一阶微分方程组初值条件§5.1Existence&UniquenessTheoremsofLinearODEs一阶线性微分方程组…(5.1)§5.1Existence&UniquenessTheoremsofLinearODEs……….(5.2)

2、……(5.3)………….(5.4)§5.1Existence&UniquenessTheoremsofLinearODEs可定义矩阵与向量函数在区间连续:连续。在区间可微:可微。在区间可积:可积。在区间§5.1Existence&UniquenessTheoremsofLinearODEs§5.1Existence&UniquenessTheoremsofLinearODEs上的连续维向量，方程组上连续且满足定义1设是区间上的连续矩阵，是区间………….(5.4)在某区间的解就是向量在区间§5.1Existence&UniquenessTheoremsofLinearODEs定义2初值

3、问题(CauchyProblem)………….(5.5)的解就是方程组(5.4)在包含使得§5.1Existence&UniquenessTheoremsofLinearODEs例1验证向量是初值问题在区间上的解。解因此是给定初值问题的解。§5.1Existence&UniquenessTheoremsofLinearODEs5.1.2n阶线性微分方程与一阶线性微分方程组等价例1令解§5.1Existence&UniquenessTheoremsofLinearODEs满足解构造向量§5.1Existence&UniquenessTheoremsofLinearODEs解满足§5.1E

4、xistence&UniquenessTheoremsofLinearODEs令§5.1Existence&UniquenessTheoremsofLinearODEs§5.1Existence&UniquenessTheoremsofLinearODEs………(5.6)等价………(5.7)§5.1Existence&UniquenessTheoremsofLinearODEs例2令将初值问题化为与之等价的一阶方程组的初值问题。解§5.1Existence&UniquenessTheoremsofLinearODEs例3将下列方程组化为高阶方程解注意：不是所有方程组都可化为高阶方程§

5、5.1Existence&UniquenessTheoremsofLinearODEs5.1.3存在唯一性定理初值问题(CauchyProblem)………….(5.5)§5.1Existence&UniquenessTheoremsofLinearODEs定理1f(t)是n维列向量，上连续，则对于区间上的任何数及任一常数向量方程组(5.5)存在唯一解定义于整个区间上，且满足初始条件如果矩阵，它们都在区间§5.1Existence&UniquenessTheoremsofLinearODEs现取，构造皮卡逐步逼近向量函数序列：向量函数称为(5.4)的第k次近似解。§5.1Existen

6、ce&UniquenessTheoremsofLinearODEs例4求方程组的初值问题的二次近似解。解令§5.1Existence&UniquenessTheoremsofLinearODEs§5.1Existence&UniquenessTheoremsofLinearODEs5.1.4简单方程组的消元法例5求解方程组解关键：保留一个未知函数，消掉另一个未知函数§5.1Existence&UniquenessTheoremsofLinearODEs方程组的解为§5.1Existence&UniquenessTheoremsofLinearODEs例6求解方程组解：保留一个未知函数

7、x，消掉另一个未知函数y§5.1Existence&UniquenessTheoremsofLinearODEs另外，由方程组的解为§5.1Existence&UniquenessTheoremsofLinearODEs练习：2求方程组的初值问题的二次近似解。1P.1842(b)§5.1Existence&UniquenessTheoremsofLinearODEs作业：P.184第2(c),3题。3求下列方程组的解§5.1Existence&Unique