线性代数同济5版

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1、二、向量组一、n维向量的概念三、小结思考题第一节n维向量确定小鸟的飞行状态，需要以下若干个参数：小鸟重心在空间的位置参数小鸟身体的水平转角θ小鸟身体的仰角ψ鸟翼的转角ψ所以，为确定小鸟的飞行状态，会产生一组有序数组１、引入小鸟身体的质量ｍ鸟翼的振动频率ｔ还有…一、n维向量的概念２、定义ｎ个数　　　　　组成的有序数组称为一个ｎ维向量，其中　称为第　个分量（坐标）.记作如：ｎ维向量写成一行，称为行矩阵，也就是行向量，如：记作α,β,γ.ｎ维向量写成一列，称为列矩阵，也就是列向量，（RowVector）（ColumnVector）例如n维实向量n维复向量第1个分量第n个分量第2个分量注意１、行向

2、量和列向量总被看作是两个不同的向量；２、行向量和列向量都按照矩阵的运算法则进行运算；３、当没有明确说明时，都当作实的列向量.2、元素全为零的向量称为零向量（NullVector）.3、维数相同的列（行）向量同型.元素是复数的向量称为复向量（ComplexVector）.３、几种特殊向量1、元素是实数的向量称为实向量（RealVector）.4、对应分量相等的向量相等.４、向量与矩阵的关系其第ｊ个列向量记作ｍ个ｎ维行向量.按行分块按列分块ｎ个ｍ维列向量.其第ｉ个行向量记作矩阵与向量的关系中注意什么是向量的个数、什么是向量的维数，二者必须分清.向　　量解析几何线性代数既有大小又有方向的量有次序

3、的实数组成的数组几何形象：　可随意平行移动的有向线段代数形象：　向量的坐　标　表　示　式坐标系5、向量空间空　　间解析几何线性代数点空间：点的集合向量空间：向量的集合坐标系代数形象：　向量空间　中　的　平　面几何形象：　空间直线、曲线、空间平面或曲面一　一　对　应叫做维向量空间．时，维向量没有直观的几何形象．叫做维向量空间　中的维超平面．若干个同维数的列向量（或同维数的行向量）所组成的集合叫做向量组．例如二、向量组、矩阵、线性方程组向量组　　　　　　　称为矩阵Ａ的列向量组.对于一个矩阵有ｎ个ｍ维列向量.记作：向量组　　　　　　　　为矩阵Ａ的行向量组．类似的，矩阵有ｍ个ｎ维行向量.反之，由有

4、限个向量所组成的向量组可以构成一个矩阵.ｎ个ｍ维列向量.所组成的向量组构成一个　　　矩阵.ｍ个ｎ维行向量.所组成的向量组也构成一个　　　矩阵.矩阵与向量组之间一一对应．线性方程组的向量表示方程组与增广矩阵的列向量组之间一一对应．即或线性方程组的向量表示方程组与增广矩阵的列向量组之间一一对应．定义2线性组合向量能由向量组线性表示．能由向量组线性表示由定义2等价于定理1由线性方程组有解的充要条件得：例1设向量组a1(1122)Ta2(1213)Ta3(1140)Tb(1031)T证明向量b能由向量组a1a2a3线性表示，并求出表示式设A(a1

5、a2a3)B(Ab)(a1a2a3b)因为所以R(A)R(B)因此量b能由向量组a1a2a3线性表示由上列行最简形可得方从而得表示式b(a1a2a3)x(3c2)a1(2c1)a2ca3其中c可任意取值解程(a1a2a3)xb的通解为定义3这两个向量组等价．向量组能由向量组线性表示从而矩阵A与B行等价则这两个矩阵的行向量组等价矩阵等价与向量组等价的关系矩阵A与B列等价则这两个矩阵的列向量组等价定理2向量组Bb1b2bl能由向量组Aa1a2am线性表示的充分必要条件是R(A)R(AB)推论向量

6、组Aa1a2am与向量组Bb1b2bl等价的充分必要条件是R(A)R(B)R(AB)能由向量组线性表示的充要条件为由矩阵方程有解的充要条件得：通过以上分析:例2设a1(1111)Ta2(3113)Tb1(2011)Tb2(1102)Tb3(3120)T证明向量组a1a2与向量组b1b2b3等价记A(a1a2)B(b1b2b3)证明将(AB)化为行阶梯形又R(B)R(AB)2于是知R(B)2因此R(A)R(B)R(AB)根据定理2的推论知向量组a1a2与

7、向量组b1b2b3等价可见R(A)2R(AB)2故R(B)2容易看出矩阵B中有不等于0的2阶子式定理3设向量组Bb1b2bl能由向量组Aa1a2am线性表示则R(b1b2bl)R(a1a2am)证明记A(a1a2am)B(b1b2bl)按定理的条件根据定理2有R(A)R(AB)而R(B)R(AB)