线性代数同济大学.pptx

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1、updown1§5二次型及其标准形一、二次型及其标准形的概念二、二次型的表示方法三、二次型的矩阵及秩四、化二次型为标准形2updown一、二次型及其标准形的概念定义1含有n个变量x1,x2,,xn的二次齐次函数fx1,x2,,xna11x12a22x22annxn22a12x1x22a13x1x32an1,nxn1xn称为二次型.当aij是复数时,f称为复二次型;当aij是实数时,f称为实二次型.例如fx1,x2,x32x124x225x324x1x3fx1,x2,x3

2、x1x2x1x3x2x3都为二次型；3updown定义只含有平方项的二次型fk1y12k2y22knyn2称为二次型的标准形（或法式）．若标准形的系数k1,k2,,kn只在1，-1，0三个数中取值，即fy12y2py2p1yr2称为二次型的规范形．fx1,x2,x3x124x224x32为二次型的标准形.例如22fx1,x2,x3x1x2x3为二次型的规范形.updown4二、二次型的表示方法1．用和号表示对二次型fx1,x2,,xna11x12a2

3、2x22annxn22a12x1x22a13x1x32an1,nxn1xn取ajiaij,则2aijxixjaijxixjajixjxi,于是fa11x12a12x1x2a1nx1xna21x2x1a22x22a2nx2xnan1xnx1an2xnx2annxn2ni,j1updown52．用矩阵表示fa11x12a12x1x2a1nx1xna21x2x1a22x22a2nx2xnan1xnx1an2xnx2annxn2

4、x1(a11x1a12x2a1nxn)x2(a21x1a22x2a2nxn)xn(an1x1an2x2annxn)a21x1a22x2a2nxnan1x1an2x2annxna11x1,x2,,xna11a12记Aa12a1nx1a1nx1,x,6updown则二次型可记作fxTAx,其中A为对称矩阵.a22a2nx2an2annxna2n

5、x2annxna21an1a21a22an1an2updown7三、二次型的矩阵及秩在二次型的矩阵表示中，任给一个二次型，就唯一地确定一个对称矩阵；反之，任给一个对称矩阵，也可唯一地确定一个二次型．这样，二次型与对称矩阵之间存在一一对应的关系．对称矩阵A叫做二次型f的矩阵;f叫做对称矩阵A的二次型;对称矩阵A的秩叫做二次型f的秩.updown解a111,a222,a333,a12a212,a13a310,a23a323.120A223

6、.0338例１写出二次型222123的矩阵.updownx1c11y1c12y2c1nyn,x2c21y1c22y2c2nyn,xncn1y1cn2y2cnnyn设9四、化二次型为标准形对于二次型，我们讨论的主要问题是：寻求可逆的线性变换，将二次型化为标准形．记C(cij),则上述可逆线性变换可记作xCyfxAxCyACyyBCACCTATCCACB,T10updown证明CTACy.T将其代入fxTAx

7、,有TT定理1任给可逆矩阵C,令BCTAC,如果A为对称矩阵,则B也为对称矩阵,且RBRA.A为对称矩阵,即有AAT,于是TTT即B为对称矩阵.BCTAC,RBRACRA,T11RARB.updown11说明1.二次型经可逆变换xCy后,其秩不变,但f的矩阵由A变为BCTAC;2.要使二次型f经可逆变换xCy变成标准形,就是要使Tk2y2,knyn也就是要使CTAC成为对角矩阵.updown定义设A和B为n阶矩阵,若有可逆矩

8、阵C,使得BCTAC,则称矩阵A与B合同说明(1)若A与B合同,且A为对称矩阵,则B也为对称矩阵.并且R(A)R(B)(2)经可逆的线性变换xCy后，二次型f的矩阵由A变为CTAC,但变换后二次型的秩并不改变。fxAxCyk1(y1,y2,,yn)y1,updownk2kny2yn