线性代数课件 同济大学

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1、线性代数（第五版）2015.10.14修改人：XFSU第一章行列式§1二阶与三阶行列式1.二阶行列式二元线性方程组当时，方程组有唯一解用消元法得记则有于是二阶行列式，记作也称为方程组的系数行列式。行标列标(1,2)元素对角线法则:主对角线副对角线例.解方程组解：2.三阶行列式类似地，讨论三元线性方程组为三阶行列式,记作称对角线法则：例：§2全排列与逆序数定义1：把n个不同的元素排成的一列,称为这n个元素的一个全排列,简称排列。把n个不同的元素排成一列,共有Pn个排列。P3=3×2×1=6例如：1,2,3的全排列123，231，312，132，213，

2、321共有3×2×1=6种，即一般地，Pn=n·(n-1)·…·3·2·1=n!P3=3×2×1=6标准次序：标号由小到大的排列。定义2：在n个元素的一个排列中，若某两个元素排列的次序与标准次序不同，就称这两个数构成一个逆序，一个排列中所有逆序的总和称为这个排列的逆序数。一个排列的逆序数的计算方法：设p1p2…pn是1，2，…，n的一个排列，用ti表示元素pi的逆序数，即排在pi前面并比t=t1+t2+…+tnpi大的元素有ti个，则排列的逆序数为例4：求排列32514的逆序数。解：逆序数为奇数的排列称为奇排列。逆序数为偶数的排列称为偶排列。例如：1

3、23t=0为偶排列，312t=2为偶排列。321t=3为奇排列，§3n阶行列式的定义观察二、三阶行列式，得出下面结论：每项都是处于不同行不同列的n个元素的乘积。2.n阶行列式是n！项的代数和。3.每项的符号都是由该项元素下标排列的奇偶性所确定。定义1：n!项的和称为n阶行列式(n≥1)，记作例1：写出四阶行列式中含有因子的项。例2：计算四阶行列式D=acfh+bdeg–adeh–bcfg重要结论：(1)上三角形行列式(2)下三角形行列式(3)对角行列式(4)副对角行列式行列式的等价定义§5行列式的性质称DT为D的转置行列式。设则D经过“行列互换”变为

4、DT性质1：行列式与它的转置行列式相等。证明：设则由行列式定义性质2：互换行列式的两行(列)，行列式变号。互换s、t两行：互换s、t两列：“运算性质”推论：若行列式有两行（列）相同，则行列式为0。性质3：用非零数k乘行列式的某一行（列）中所有元素，等于用数k乘此行列式。“运算性质”用k乘第i行：用k乘第i列：推论：行列式中某一行（列）的公因子可以提到行列式符号外面。性质4：若行列式有两行（列）的对应元素成比例，则行列式等于0。性质5：若某一行是两组数的和，则此行列式就等于如下两个行列式的和。性质6：行列式的某一行（列）的所有元素乘以同一数k后再加到另

5、一行（列）对应的元素上去，行列式的值不变。用数k乘第t行加到第s行上：用数k乘第t列加到第s列上：“运算性质”利用行列式性质计算：（化为三角形行列式）例1：计算例2：计算“行等和”行列式例10：设证明：0证明：利用行的运算性质r把化成下三角形，再利用列的运算性质c把化成下三角形，对D的前k行作运算r，后n列作运算c,则有例§6行列式按行(列)展开对角线法则只适用于二阶与三阶行列式.本节主要考虑如何用低阶行列式来表示高阶行列式.一、引言结论三阶行列式可以用二阶行列式表示.思考题任意一个行列式是否都可以用较低阶的行列式表示？例如把称为元素的代数余子式．在

6、n阶行列式中，把元素所在的第行和第列划后，留下来的n－1阶行列式叫做元素的余子式，记作.结论因为行标和列标可唯一标识行列式的元素，所以行列式中每一个元素都分别对应着一个余子式和一个代数余子式.引理一个n阶行列式，如果其中第行所有元素除外都为零，那么这行列式等于与它的代数余子式的乘积，即．例如即有又从而下面再讨论一般情形.分析当位于第1行第1列时,（根据P.14例10的结论）我们以4阶行列式为例.思考题：能否以代替上述两次行变换？思考题：能否以代替上述两次行变换？答：不能.被调换到第1行，第1列二、行列式按行（列）展开法则定理3行列式等于它的任一行（列

7、）的各元素与其对应的代数余子式乘积之和，即同理可得例（P.12例7续）证明用数学归纳法例证明范德蒙德(Vandermonde)行列式所以n=2时(1)式成立.假设(1)对于n－1阶范德蒙行列式成立，从第n行开始，后行减去前行的倍：按照第1列展开，并提出每列的公因子，就有n−1阶范德蒙德行列式推论行列式任一行（列）的元素与另一行（列）的对应元素的代数余子式乘积之和等于零，即分析我们以3阶行列式为例.把第1行的元素换成第2行的对应元素，则定理3行列式等于它的任一行（列）的各元素与其对应的代数余子式乘积之和，即推论行列式任一行（列）的元素与另一行（列）的对

8、应元素的代数余子式乘积之和等于零，即综上所述，有同理可得例计算行列式解例设,的元的余子式和代数余子式依次记作