线性代数同济大学x

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1、updown1§6用配方法化二次型成标准形拉格朗日配方法的具体步骤updown2一、拉格朗日配方法的具体步骤用正交变换化二次型为标准形，其特点是保持几何形状不变．问题有没有其它方法，也可以把二次型化为标准形？问题的回答是肯定的。下面介绍一种行之有效的方法——拉格朗日配方法．updown3拉格朗日配方法的步骤1.若二次型含有xi的平方项，则先把含有xi的乘积项集中，然后配方，再对其余的变量同样进行，直到都配成平方项为止，经过可逆的线性变换，就得到标准形;2.若二次型中不含有平方项，但是aij0(ij),则先作可逆线性变换xiyiyjxk

2、yk化二次型为含有平方项的二次型，然后再按1中方法配方.updown解4例1化二次型fx122x225x322x1x22x1x36x2x3为标准形,并求所用的变换矩阵.含有x1的项配方含有平方项fx122x225x322x1x22x1x36x2x3x122x1x22x1x32x225x326x2x32x22x322x2x32x225x326x2x32x1x2x3x224x324x2x3x1x2x3x22x3.令y2x22x3x2y22y3x1111

3、y15updowny1x1x2x3y3x3x1y1y2y3x3y32y21y3x201x300例1化二次型fx122x225x322x1x22x1x36x2x3为标准形,并求所用的变换矩阵.222x22116up10.down12,1Cy12y22.所用变换矩阵为C0100例1化二次型fx122x225x322x1x22x1x36x2x3为标准形,并求所用的变换矩阵.x1111

4、y101y2x3001y3fx122x225x322x1x22x1x36x2x3updownf2y122y224y1y38y2y3.得7例2化二次型f2x1x22x1x36x2x3成标准形,并求所用的变换矩阵.解由于所给二次型中无平方项，所以令30代入f2x1x22x1x36x2x3,f2y2y4y1y38y2y3.z2y22y3y2z22z3,y1101z1001y8updown再配方，得22z1y1y3z3y3

5、令y1z1z3y3z3f2z122z226z32.得即y2012z23z32212得x2110x001yy2z2y001z9down所用变换矩阵为C110012001001113111.00120.upCx1110y1y233y1101z101233updown10内容小结将一个二次型化为标准形

6、，可以用正交变换法，也可以用拉格朗日配方法，或者其它方法，这取决于问题的要求．如果要求找出一个正交矩阵，无疑应使用正交变换法；如果只需要找出一个可逆的线性变换，那么各种方法都可以使用．正交变换法的好处是有固定的步骤，可以按部就班一步一步地求解，但计算量通常较大；如果二次型中变量个数较少，使用拉格朗日配方法反而比较简单．需要注意的是，使用不同的方法，所得到的标准形可能不相同，但标准形中含有的项数必定相同，项数等于所给二次型的秩．updown11思考题化二次型fx1,x2,x3x1x2x1x3x2x3为标准形,并写出所作的可逆线性变换.x1y

7、1y2,x2y1y2,x3y3,f(y1y3)y2y3,有zyy,13z2y2,再令z3y3,y2z2,y3z3,12down1y1z1z3,up或fx1,x2,x3x1x2x1x3x2x3并写出所作的可逆线性变换.解由于所给二次型不含平方项,故令222x1y1y2,x2y1y2,x3y3,y2z2,y3z3,13updown得标准形fz12z22z23,所用可逆线性变换为x1z1z2z3,y1z1z3,updown

8、14§7正定二次型一、惯性定理二、正（负）定二次型的概念三、正（负）定二次型的判别updown