线性代数(李建平)讲义复旦大学出版社第一章

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1、电子教案线性代数教研室******学院线性代数线性代数是什么：线性问题广泛存在于科学技术的各个领域，而某些非线性问题在一定条件下可以转化为线性问题，因此《线性代数》课程所介绍的方法广泛地应用于各个学科。随着计算机技术的快速发展和普及，该课程的地位与作用更显得重要。同时，该课程对于培养学生的逻辑推理和抽象思维能力、空间直观和想象能力具有重要的作用。历史上线性代数的第一个问题是关于解线性方程组的问题，而线性方程组理论的发展又促成了作为工具的行列式和矩阵理论的创立与发展，这些内容已成为我们线性代数教材的

2、主要部分。行列式出现于线性方程组的求解，它最早是一种速记的表达式，现在已经是数学中一种非常有用的工具。第一节行列式定义1一、二阶行列式称为二阶行列式，它表示设记号代数和，即22a21a11a=22a21a12a11a11a12a21a22a-主对角线副对角线对角线法则二阶行列式的计算若记对于二元线性方程组系数行列式将行列式的概念用于表达线性方程组的解，将会使其形式简化，便于记忆．我们已经知道用消元法解二元线性方程组。得得注意：分母都为原方程组的系数行列式。则：在的条件下，二元线性方程组的解为：二、三阶行列式

3、定义2记号称为三阶行列式，即它表示代数和：由上述定义可见，三阶行列式是由9个数按一定的规律运算所得的代数和，这个代数和可利用图1-2（对角线法则）或图1-3（沙路法则）来表述。对角线法则沙路法类似于二元线性方程组的讨论，对于三元线性方程组同理用消元法求解方程组得系数行列式则该方程组有唯一解：因故方程组有唯一解：解方程组例1解例2计算三阶行列式解线性方程组解系数行列式方程组的解为:例3把自然数1，2，…，n按一定的顺序排成一三、排列及其逆序数定义3个数组，称为一个n级排列，简称为排列，并把这个排列记为（表明较

4、大的数在一个n级排列中，若排在较小的数前面)，则称数与构成一个逆序。一个n级排列中逆序的的逆序数，记为定义4总数称为该排列定义5逆序数为奇数的排列称为奇排列；逆序数为偶数的排列称为偶排列。解计算排列32514的逆序数．例4例5求排列123…n和n(n-1)…21的逆序数，并又因为易见：当n=4k，4k+1时，该排列为偶排列，当n=4k+2，4k+3时，该排列为奇排列，当n=4k+2，4k+3时，该排列为奇排列。我们也称12…n为自然序排列．指出其奇偶性.解因为首先考虑对换两个相邻的数的情形．设某一n级经过对

5、换(i,j)得到另一个排列在这两个排列中，其一，除i，j以外的其他任何两个数的相对顺序均未改变，其二，i，j以外的任何一个数字与i（或j）的相对顺序也未改变，而改变的只有i与j的相对顺序，因此，新排列比原排列或增加了一个逆序（当ij时），无论是哪一种情形，原排列与新排列的奇偶性都相反．即对换相邻的两个数，一定会改变排列的奇偶性。对作不相邻对换的情形，请读者自己思考。证明排列为定理1每一个对换都改变排列的奇偶性.设n级排列中有p个偶排列，q个奇排列,证明对这p个偶排列施行同一个

6、对换那么由定理1我们得到p个奇排列，同理，对q个奇排列施行同一个对换（i,j),由定理1我们得到q个偶排列，且q≤p，故定理2n≥2时，在n!个n级排列中，奇排列与偶排列的个数相等，各为个.（i，j），且p≤q．则p+q=n!．四、n阶行列式的定义1、观察三阶行列式易见：三阶行列式共有6项（即3！项）；每项都是取自不同行不同列的3个元素的乘积；每项的符号是：当该项元素的行标按自然序排列后，若对应的列标构成的排列是偶排列则取正号，是奇排列则取负号．其中为对所有三级排列求和故三阶行列式可定义为：由n2个元素组成

7、的记号称为n阶行列式，它表示所有取自不同行、不同列的n个元素乘积的代数和.若对应的列标构成的排列是偶排列则取正号，是奇排列各项的符号是：当该项各元素的行标按自然序排列后,定义6则取负号．表示对所有的n级排列求和．其中即：注：（1）由于所有n级排列的总数有n!个，故n阶行列式是n!项的代数和．（2）由于在所有的n级排列中，奇排列和偶排列的个数相同，故在代数和中正负项各占一半．（3）由于乘积中各因子的相对顺序可以改变，，这样的乘积项仍然是行列式

8、aij

9、n×n展开式因此当乘积中各因子列标按自然序排列时，一般表示

10、为中的一项，而且可以证明，项前的符号为于是n阶行列式又可以定义为我们还可以证明，当乘积中各因子的相对顺序，这样的乘的展开式中的一项，而且项前随意改变时，一般表示为积仍然是行列式的符号为，于是n阶行列式又可以定义为例6计算行列式根据定义，D是4!=24项的代数和，然而在这个代数和里，除了adfh，adeh，bdeg，bcfg这4项外，其余项都至少含有一个因子0，因而等于0；当上述4项中各因子的行标按自然序排列后，其