》课后答案(复旦大学出版社(曹定华_李建平_毛志强_著))第2章.pdf

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1、微积分复旦大学出版社曹定华主编课后答案第二章习题2-11.证明：若limxn=a,则对任何自然数k，有limxn+k=a.nn证：由limxa，知0，N，当nN时，有n11nxan取NNk，有0，N，设nN时（此时nkN）有11xank由数列极限的定义得limxa.nkx2.证明：若limxnn=a,则lim∣xn∣=

2、a

3、.考察数列xn=(-1)，说明上述结论反之不成立.nn证：limxanx0,Nn,使当Nx时，有a.n而xaxann于是0，Nn,使当N时，有x

4、axa即xannn由数列极限的定义得limxannn考察数列x(1)，知limx不存在，而x1，limx1，nnnnnn所以前面所证结论反之不成立。3.证明：limxn=0的充要条件是lim∣xn∣=0.nn证：必要性由2题已证，下面证明充分性。即证若limx0，则limx0，nnnn由limx0知，0，N，设当nN时，有nnxx0即即x0nnn由数列极限的定义可得limx0nn4.利用夹逼定理证明：1本文档由天天learn提供，查看其他章节请点击http://www.ttlearn

5、.net/html/69/n-69.html微积分复旦大学出版社曹定华主编课后答案1112(1)lim=0；(2)lim=0.222nnn(1)(2)nnn!1111nn1n2证：（1）因为222222nnn(1)(2)nnnn12而且lim0，lim0，2nnnn所以由夹逼定理，得111lim0.222nnn(1)(2)nn22222244（2）因为0，而且lim0，nn!1231nnnn所以，由夹逼定理得n2lim0nn!5.利用单调有界数列收敛准则证

6、明下列数列的极限存在.13(1)x1＞0,xn+1=()x，n=1,2,…；n2xn(2)x1=2,xn+1＝2x,n=1,2,…；n(3)设xn单调递增，yn单调递减，且lim(xn-yn)=0,证明xn和yn的极限均存在.n13证：（1）由x0及xx()知，有x0（n1,2,）即数列x有下界。1nnnn2xn1313又xx()2x3(n1,2,)nn1n22xxnn21313xnxxx()0即xxnn11nnn22xxnn所以x为单调递减有下界的数列，故x有极限。nn（2）因为x22，不妨设x2，

7、则1kxx2222kk1故有对于任意正整数n，有x2，即数列x有上界，nn2本文档由天天learn提供，查看其他章节请点击http://www.ttlearn.net/html/69/n-69.html微积分复旦大学出版社曹定华主编课后答案又xxx(2x)，而x0,x2，nnn1nnn所以xx0即xx，nn1nn1即数列是单调递增数列。综上所述，数列x是单调递增有上界的数列，故其极限存在。n（3）由数列x单调递增，y单调递减得xx，yy。nnn1n1又由lim(xy)0知数列xy有界，于是存在M>0，使xyM,

8、nnnnnnn由xyM及y1得，xyMyM，nnnnn1由xyM及xx得，yxMxM，nnn1nn1于是，数列x是单调递增有上界的数列，y是单调递减有下界的数列，所以它nn们的极限均存在。习题2-21.证明：limf(x)=a的充要条件是f(x)在x0处的左、右极限均存在且都等于a.xx0证：先证充分性：即证若limf()xflim()xa，则lim()fxa.xxxxxx000由limf()xa及limf()xa知：xx0xx00,0,当0xx时，有fxa()，1010当0

9、xx时，有fxa()。202取min,，则当0xx或0xx时，有fxa()，1200而0xx或0xx就是0xx，000于是0,0，当0xx时，有fxa()，0所以lim()fxa.xx0再证必要性：即若lim()fxa，则limf()xflim()xa,xxxxxx000由lim()fxa知，0,0，当0xx时，有fxa()，0xx0由0xx