线性代数(李建平)习题答案详解__复旦大学出版社

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1、线性代数(李建平)习题答案详解__复旦大学出版社线性代数习题一1.2.3（答案略）4.(1)∵(奇数)∴为偶数故所求为(2)∵（奇数）∴所求为3972815645.(1)∵(偶数)∴项前的符号位（正号）（2）∵∴项前的符号位（负号）6.(1)（2）（3）原式=7.8（答案略）9.∵∴10.（1）从第2列开始，以后各列加到第一列的对应元素之上，得（2）按第一列展开：（3）习题二1.2.3.4.5（答案略）6.设为与可交换的矩阵，则有即解之得7.（1），记为，记为（2）即8（答案略）9.10.（1）(2)=11.∵∴反之

2、若,则,即12.(1)设∵∴又∵∴又当时，有∴（2）设，则∵∴当时，有故即13.(1)∵∴为对称矩阵同理也为对称矩阵（2）∵∴为对称矩阵又∵∴为反对称矩阵（3）∵由（2）知，为对称矩阵，为反对称矩阵故可表示成一个对称矩阵与一个反对称矩阵的和。14.（1）必要性：∵∴充分性：∵∴(2)必要性：∵∴充分性：∵∴(3)必要性：∵∴即充分性：∵∴15（答案略）16.∵∴可逆。且17.∵∴可逆，且18.（答案略）19.∵,若可逆，则∴故可逆，且20.设，∵是对称矩阵∴记，则，即为对称矩阵，又∵,∴为对称矩阵。21.（1）设，则

3、（2）∵∴又∵∴于是即(3)∵∴于是(4)(注意加条件：可逆)∵可逆∴∴22.∵∴23.24.（答案略）25.∵∴∴可逆，且26.∵∴又∵,,∴27（答案略）28.∵∴又∵∴故29.∵∴∴30.（答案略）31.（1）(2)32.33.(1)∵∴(2)∵∴习题三1.2.3.4（答案略）5.∵不能由线性表示∴线性方程组无解不妨假设能由线性表示，则存在一组数，使从而此式与方程组无解矛盾。故不能由的任何部分组线性表示6.依题意所以即7.∵∴令∵∴可逆，于是即8．（答案略）9.当即当或时，线性相关否则线性无关。10.（1）设则

4、∴即故线性无关。（2）设则∵线性无关∴解之得11.一方面，向量组能由基本单位向量组线性表示；另一方面，基本单位向量组由向量组线性表示为∴向量组与向量组等价。12.一方面可由向量组线性表示；另一方面由于与有相同的秩，所以就是向量组的一个极大无关组，从而可以由线性表示.故13.设是向量组中任意一个向量∵可由线性表示又，∴线性无关∴是的一个极大无关组。14.∵可由线性表示，而也可由线性表示∴从而故线性无关。15.必要性：∵是一组维向量，若线性无关，显然任意维向量都可由线性表示。充分性：∵任意维向量都可以由线性表示，∴基本单

5、位向量组可由线性表示，故∴从而线性无关。习题四1.2.3.4.5.6(答案略)7.设，由得即可见，是方程组的两个解又∵∴是方程组的两个线性无关的解。于是，问题就转化为求解方程组∵取即为所求。8、设所求方程组为不妨设依题设，即故所求方程组为9、由题设可知为的解，又因为，所以的基础解为所含向量个数为．故为的基础解系于是的通解为　　　　１０、的互解为即　　方程组有非零解．显然满足方程所以是所求非零的公共解．11（答案略）１２．由题设知，方程组的基础解系含一个解向量．　　可见是方程组的基础解系　由知，知　　即又线性无关．　可

6、见为它的一个解，从而为的一个特解。　故的通解为　　１３　（１）假设线性相关　　线性无关　　纯由向量组线性表示　　从而是方程组的解　　　与已知矛盾线性无关．（２）设　又线性无关　从而故线性无关．１４．设是的一个解，是的基础解系　由１３知又的任一解都可由向量组线性表示．的解向量组所含向量个数１５．设是的一个特解　　是的一个基础解系　　则的任意解　即　　　　　　令显然是的个线性无关的解.则其中习题五1（答案略）2、设是的属于特征值的特征向量，则即解此方程组得或3、设是的特征值，是的属于特征值的特征向量，则即故即或4、故的特

7、征值为.5.由题设知为的特征值。于是又6.7.存在可逆矩阵，使于是故B是幂等矩阵.8.令依题设9.由，得（二重），可见方程的基础解系含2个解向量，从而又10（答案略）11.（1）设原矩阵不是正交矩阵.（2）令所以原矩阵为正交矩阵.12(答案略)13.设为与正交的向量.则即，此方程组的通解为（1）A的属于特征值的特征向量为（2）记则又