线性代数课后习题答案_复旦大学出版社_熊维玲

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1、第一章3.如果排列是奇排列,则排列的奇偶性如何？解：排列可以通过对排列经过次邻换得到，每一次邻换都改变排列的奇偶性，故当为偶数时，排列为奇排列，当为奇数时，排列为偶排列。4.写出4阶行列式的展开式中含元素且带负号的项.解：含元素的乘积项共有，，，，，六项，各项列标排列的逆序数分别为，，，，，，故所求为，，。5.按照行列式的定义,求行列式的值.解：根据行列式的定义，非零的乘积项只有，其中，故行列式的值等于：6.根据行列式定义,分别写出行列式的展开式中含的项和含的项.解：展开式含的乘积项为含的乘积项为8.利用行列式的性质计算下列行列式：解：

2、(1)(2)（第二行与第四行相同）(3)(4)9.若=0,求解：即有：11.利用行列式按行或列展开的方法计算下列行列式：解：(2)，其中：，.带入上式即可。12.设4阶行列式，求.解：显然，行列式按第四列展开，即得。注意到该行列式的第四列与第一列元素成比例，其值为0，故.14.当、取何值时，齐次线性方程组有非零解？解：当系数行列式时，齐次线性方程组有非零解，于是要求B15.计算下列行列式:(1)（加边法）（第二列的倍……第列的倍都加到第一列）(2)(3)(4)记，由范德蒙行列式的结论可知，.第二章　矩阵1（本题为类似题）．设，求解:2（

3、部分原题，部分类似题）．计算下列乘积：(1)；(2)；(3)；(4)；(5).解:(1)(2)(3)(4)(5)(6)3．求其中为自然数，解：时，时，设时，；则时，有故：由数学归纳法知，对任意的自然数，有4．矩阵A称为反对称矩阵，若。已知A为阶反对称矩阵，B为为阶对称矩阵，试问BA-AB是对称矩阵还是反对敌矩阵？试证明你的结论。答：BA-AB是一个对称矩阵。证明如下：因为：所以：BA-AB是对称矩阵。5（部分原题，部分类似题）．求下列矩阵的逆矩阵（请注意伴随矩阵的计算公式）：(1)；(2)；(3)；(4)解：(1)，故存在=(2)，故存

4、在(3)，故存在，，(4)由对角矩阵的性质知6（部分原题，部分类似题）．解下列矩阵方程：(1)　；(3)　；(2)　；(4)　.解：(1)；(2)；(3)；(4)7．设(为正整数)，证明.（请注意证明过程的逻辑性要正确）证明：由于，于是有两端同时右乘得8．设矩阵；（1）求；（2）证明矩阵A可逆，并求出；（3）求解：（1）（2）因为所以，，故A可逆。又因为（3）；，9（本题为类似题）．设方阵满足，证明及都可逆，并求及.证明：由得于是，即，故，所以可逆；又由得于是，故也可逆.由；又由.10．利用逆矩阵解下列线性方程组（注：第一题的方程次序不

5、同，但方程组是同一个方程，请注意用逆矩阵解法，不可以用消元法）:(1)(2)解：(1)方程组矩阵表示形式为记方程组为：，则，又，故，所以有(2)方程组矩阵表示形式为记方程组为：，则，又，故，从而有11．设，，求.（注：请注意矩阵的左乘与右乘的单边性，不可搞乱）及解:由可得，故又，故：12．设A和X满足，其中，求矩阵X解：由得又由于，所以，故A+E是可逆矩阵。从而有：=12．（本题是第12题的类似题，请注意区别解法的不一样，再次提醒注意矩阵左乘和右乘的区别，不可随意左乘和右乘）．设，且，求．解：由得．　　由于，于是，故可逆．所以13．设次

6、多项式，其中，记，则为矩阵A的设次多项式。（1）若=0；证明矩阵A可逆，并求出；（2）设A=；证明：；=；解：（1）；有=（2）A=；有=而14．设矩阵A的伴随矩阵是，证明：（1）若；(2).证明:(1)用反证法证明．假设则有又由于所以，这与矛盾故当时，有.(2)　由于，则，于是若则；若，则由(1)知，此时命题也成立.故有.15．设矩阵A=，其中矩阵，证明矩阵A可逆的充要条件是：均可逆。并求A。证明：因为A=，其中矩阵，所以：，故。即矩阵A可逆的充要条件是：均可逆。设X=，其中矩阵；且AX=E；则=解得：即：A=。16．设n阶矩阵A及阶

7、矩阵B均可逆，求。解：因为：设n阶矩阵A及阶矩阵B均可逆；所以：设X=，其中是方阵；是方阵；且=E；即，显然可取：，故=17．已知A，B为三阶对称矩阵，且满足其中E为三阶单位矩阵。证明：（1）矩阵A-2E可逆，并求出（2）若矩阵，求矩阵A。证明：（1）又A可逆，二边同时左乘A知：可逆，且又A，B为三阶对称矩阵；；而且又已知即：。故（2），E=，故8；故：8，说明：本题解题切记要用上对称矩阵的概念和性质，多余的结论不用证明，只做题目要求的内容。如B可逆是不必要在此提出的。18．设矩阵X满足，其中；，求矩阵X解：；；4，所以代入上式得：；由

8、于所以19．设三阶矩阵A，B满足，其中E为三阶单位矩阵，，求

9、B

10、。解：；；又=，所以是可逆矩阵；故20．设A，B均为三阶矩阵，E为三阶单位矩阵，已知AB=2A+B；，求。解：；所以可逆，且习题三２．设=，