矩形的性质与判定的综合应用（三）——矩形中的折叠问题

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1、矩形的性质与判定的综合应用（三）矩形中的折叠问题【学习目标】1.明白折叠过程的实质是轴对称变换，能找出对应边和对应角的相等关系.2.尝试利用勾股定理、相似等知识解决矩形折叠中的常见问题.3.尝试在复杂的折叠过程中，理清基本的对应关系.【学习重点】1.能够在折叠变换中找出具有相等关系的对应边和对应角.2.运用勾股定理、相似性质等求出折叠问题中特定线段的长度.【学习难点】灵活运用方程、相似、对称等数学知识解决折叠有关的综合问题。【候课朗读】本课学习准备的旧知回顾【学习过程】一、学习准备1．旧知回顾图形的折叠是指把某个图形或图形的

2、一部分沿某条直线折叠，这条直线就成了对称轴。几何图形的折叠问题，其实质是轴对称问题。轴对称的基本性质：对应线段相等，对应角相等；对应点所连的线段被对称轴垂直平分。工具准备：用矩形纸片按照例1所示折叠，指出折叠过程中的对应边和对应角。2．本课思维导航二、典例分析3．利用对称性质求解例1．如图，把一张长方形纸片ABCD折叠起来，使其对角顶点A与C重合，折痕交AD于E，交BC于F，连结EC。求证：四边形AFCE为菱形。思路启迪：由折叠，能得到哪些边和角相等？反思：你用了折叠的什么性质？得到了什么结论？即时练习1：如图，将宽为1cm

3、的纸条沿BC折叠，使∠CAB=45°，则折叠后重叠部分的面积为（　　）A．cm2B．cm2C．cm2D．cm24．对称+勾股定理例2．按照下面的方式折叠矩形ABCD：（1）在图1中，若沿BD折叠，C落在C′处，AB=4，BC=8，求AF．（求△BFD的面积）（2）在图2中，若对折使C落在AD上，AB=6，BC=10，求AE，DF的长．思路启迪：请把条件尽量在图形上标示出来，你能想到什么？反思：你用到了什么重要定理和思想方法？即时练习2：如图，将矩形纸片ABCD折叠，使边DC落在对角线AC上，折痕为CE，且D点落在D′处，若A

4、B=3，AD=4，求ED的长。5．对称+相似例3．如图，把一张长方形纸片ABCD折叠起来，使其对角顶点A与C重合，若长方形的长BC为16，宽AB为8，则折叠后折痕EF的长是多少？思路启迪：连结AC，AC与EF有什么关系？反思：你还有其他解法吗？6．对称+动点例4．在矩形纸片ABCD中，AB=5，AD=13．如图③所示，折叠纸片，使点A落在BC边上的A′处，折痕为PQ．当点A′在BC边上移动时，折痕的端点P、Q也随之移动．若限定点P，Q分别在AB，AD边上移动，求点A′在BC边上可移动的最大距离．思路启迪：请用纸片按题意折叠，

5、看一看A′和P、Q的移动位置。反思：你遇到了哪些困难？即时练习4：在三角形纸片ABC中，已知∠ABC=90°，AB=6，BC=8。过点A作直线平行于BC，折叠三角形纸片ABC，使直角顶点B落在直线上的T处，折痕为MN．当点T在直线上移动时，折痕的端点M、N也随之移动．若限定端点M、N分别在AB、BC边上移动，则线段AT长度的最大值与最小值之和为_________(计算结果不取近似值)．思路启迪：请按照题目要求先画出图形。【反思小结】1．在解决矩形折叠问题时的基本出发点是什么？2．在矩形的折叠过程中，经常会产生哪些特殊图形？3

6、．在解决矩形折叠问题时，常用的方法和思路有哪些？下面是矩形在折叠过程中的常见图形，请你动动脑筋，看看你能说出他们具有哪些结论：【星级达标】达标一*1．如图，将长方形沿AE折叠，若∠BAF=40°，则∠EAF=　°．*2．如图所示，将宽为4厘米的纸条折叠，折痕为AB，如果∠ACB=30°，折叠后重叠部分的面积为平方厘米．第1题图第2题图第3题图第4题图*3．正方形ABCD的边长为1，沿AE折叠，顶点D刚好落在对角线AC上的F点处，则DE的长是　．*4.如图，矩形ABCD沿对角线BD折叠，已知长BC=8cm，宽AB=6cm，那么

7、折叠后重合部分的面积是（　　）　A．48cm2B．24cm2C．18.75cm2D．18cm2*5.如图，将矩形纸片ABCD沿对角线AC折叠，使点B落在点E处。求证：AF=CF*6．如图，在矩形ABCD中，AB=6，BC=8，沿直线MN对折，使A、C重合，直线MN交AC于O．（1）求证：△COM∽△CBA；（2）求线段OM的长度．达标二**7．如图，正方形纸片ABCD的边长为3，点E、F分别在边BC、CD上，将AB、AD分别和AE、AF折叠，点B、D恰好都将在点G处，已知BE=1，则EF的长为（）ABCDEGFFA．B．C．

8、D．3第7题图第8题图第9题图**8．矩形纸片ABCD的边长AB=4，AD=2．将矩形纸片沿EF折叠，使点A与点C重合，折叠后在其一面着色（如图），则着色部分的面积为（）A．8B．C．4D．**9．如图，在折纸活动中，小明制作了一张△ABC纸片，点D、E分别是边AB、AC上，将△ABC沿着