矩形的性质与判定的综合应用.ppt

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1、第一章特殊平行四边形1.2矩形的性质与判定第3课时矩形的性质与判定的综合应用宝鸡市第一中学胡华楼1题型利用矩形的判定和性质解和差问题如图①，在△ABC中，AB＝AC，点P是BC上任意一点，PE⊥AB，PF⊥AC，BD⊥AC，垂足分别为E，F，D.(1)求证：BD＝PE＋PF.(2)当点P在BC的延长线上时，其他条件不变．如图②，BD，PE，PF之间的上述关系还成立吗？若不成立，请说明理由．(1)如图，作BH⊥FP交FP的延长线于点H.∵BD⊥AC，PF⊥AC，BH⊥PF，∴四边形BDFH是矩形．∴BD＝HF.∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠C

2、.∵PE⊥AB，PF⊥AC，∴∠PEB＝∠PFC＝90°.∴∠EPB＝∠FPC.证明：又∵∠HPB＝∠FPC，∴∠EPB＝∠HPB.∵PE⊥AB，PH⊥BH，∴∠PEB＝∠PHB＝90°.又∵PB＝PB，∴△PEB≌△PHB.则PE＝PH.∴BD＝HF＝PF＋PH＝PF＋PE.即BD＝PE＋PF.(2)不成立，PE＝BD＋PF.理由：作BH⊥PF交PF的延长线于点H.与(1)同理可得PE＝PH，BD＝HF.∴PE＝FH＋FP＝BD＋PF.解：2．如图，已知点E是▱ABCD中BC边的中点，连接AE并延长交DC的延长线于点F.(1)连接AC，

3、BF，若∠AEC＝2∠ABC，求证：四边形ABFC为矩形；(2)在(1)的条件下，若△AFD是等边三角形，且边长为4，求四边形ABFC的面积．2题型利用矩形的判定和性质解面积问题(1)∵四边形ABCD为平行四边形，∴AB∥DC.∴∠ABE＝∠ECF.又∵点E为BC的中点，∴BE＝CE.又∵∠AEB＝∠FEC，∴△ABE≌△FCE.∴AB＝CF.证明：又AB∥CF，∴四边形ABFC为平行四边形．∴AE＝EF.∵∠AEC为△ABE的外角，∴∠AEC＝∠ABC＋∠EAB.又∵∠AEC＝2∠ABC，∴∠ABC＝∠EAB.∴AE＝BE.∴AE＋EF

4、＝BE＋CE，即AF＝BC.∴四边形ABFC为矩形．(2)∵四边形ABFC是矩形，∴AC⊥DF.又∵△AFD是等边三角形，且边长为4，∴CF＝CD＝＝2.∴AC＝∴S矩形ABFC＝解：3．如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，且DE∥AC，AE∥BD.求证：四边形AODE是矩形．3题型利用矩形的定义判定与菱形有关的矩形∵DE∥AC，AE∥BD，∴四边形AODE是平行四边形．∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD.∴∠AOD＝90°.∴四边形AODE是矩形．证明：4．如图，已知∠ACB＝∠ADB＝90°，N，M分别是AB，CD的中点

5、，判断MN与CD的位置关系，并说明理由．4题型利用直角三角形斜边上中线性质判断直线位置关系MN⊥CD.理由如下：如图，连接ND，NC.在Rt△ABD中，∠ADB＝90°，N是AB的中点，∴ND＝AB.同理可证NC＝AB.∴ND＝NC.∴△NDC是等腰三角形．在等腰三角形NDC中，∵M是CD的中点，∴MN⊥CD.解：5．阅读下面材料：在数学课上，老师请同学思考如下问题：如图①，我们把一个四边形ABCD的四边中点E，F，G，H依次连接起来得到的四边形EFGH是平行四边形吗？5题型利用矩形、菱形的判定探究条件小敏在思考问题时，有如下思路：连接A

6、C.点E，F分别是AB，BC的中点EF∥GHEF＝AC点G，H分别是CD，AD的中点GH∥ACGH＝ACEF∥GHEF＝GH四边形EFGH是平行四边形参考小敏思考问题的方法，解决以下问题：(1)若只改变图①中四边形ABCD的形状(如图②)，则四边形EFGH还是平行四边形吗？请说明理由．(2)如图②，在(1)的条件下，若连接AC，BD.①当AC与BD满足什么条件时，四边形EFGH是菱形？写出结论并说明理由．②当AC与BD满足什么条件时，四边形EFGH是矩形．直接写出结论．(1)四边形EFGH还是平行四边形．理由如下：连接AC.∵E，F分别是

7、AB，BC的中点，∴EF∥AC，EF＝AC.∵G，H分别是CD，AD的中点，∴GH∥AC,GH＝AC.∴EF∥GH，EF＝GH.∴四边形EFGH是平行四边形．解：(2)①当AC＝BD时，四边形EFGH是菱形．理由如下：由(1)可知四边形EFGH是平行四边形，当AC＝BD时，FG＝BD，EF＝AC，∴FG＝EF.∴四边形EFGH是菱形．②当AC⊥BD时，四边形EFGH是矩形．点拨：(2)②中由(1)可知四边形EFGH是平行四边形，∵E，F分别是AB，BC的中点，∴EF∥AC.∵AC⊥BD，∴EF⊥BD.∵G，F分别是CD，BC的中点，∴FG

8、∥BD.∵EF⊥BD，∴EF⊥FG.即∠EFG＝90°.∴四边形EFGH是矩形．6．已知点E是矩形ABCD的对角线BD上的一点，且BE＝BC，AB＝3，BC＝4，点P是EC上的一动点，且PQ⊥