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1、离散数学第1篇集合论第1章集合及其运算1.1集合的概念与表示一、集合的概念一些确定的、可以区别于其它个体的对象的总和称为集合。集合中的个体对象称为集合的元素，常用a、b等小写字母表示。集合通常用A、B等大写字母表示。一些特定的字母表示特定的集合，如N、Z、Q、R、C。元素与集合的关系称为属于关系。元素a是集合A中的元素，记作，元素a不是集合A中的元素，记作。在集合的概念中需要强调指出三点：1。集合中相同的元素，不论出现多少次，都被看作为一个元素。2。集合中的元素是没有排列顺序的。例如集合A中的元素是a、b、c，集合B中的元
2、素是c、a、b，那么，它们表示的是同一个集合。3。集合中的元素可以是数、点、事物，还可以是集合。根据集合中元素的个数，集合可分为有限集合和无限集合。有限集合A中所包含的元素的个数以
3、A
4、表示。二、集合的表示方法1．列举法列出集合中的所有元素，用大括号括起来。例如，A={a,b,c,d},N={0,1,2,3,…}。2。描述法在大括号中，先说明元素怎样表示，再描述元素具有的共同属性，例如，N={x
5、x是非负整数},D={(x,y)
6、}3。图示法——文氏图用一个简单的平面区域(通常用圆)表示一个集合，不同的集合用不同的平面区域
7、表示。区域内的点表示集合中的元素。三、集合之间的关系若集合A中的每一个元素都是集合B中的元素，称集合A是集合B的子集，记作。如，则。说明：1。包含关系只适用于集合与集合之间。2。若，则A=B。3。若，且B中包含不属于A的元素，则称A是B的真子集，记作。4。集合的包含关系具有：⑴自反性，。⑵反对称性，。⑶传递性，。四、特殊集合1。空集：不包含任何元素的集合，记作φ。空集是任何集合的子集。φ与{φ}是不同的。2。全集：研究对象的全体组成的集合，用E表示。任何集合都是全集的子集。3。幂集：一个集合的所有子集组成的集合，记作P(A
8、)如A={a,b}，P(A)={φ,{a},{b},{a,b}}说明：⑴幂集中所有的元素都是集合。⑵φ与P(φ)是不同的，φ中没有元素，P(φ)中有一个元素φ，P(φ)={φ}。⑶若A中有n个元素，则P(A)中有2n个元素。例1设A={1,2,3}，则P(A)=。解：P(A)={φ,{1},{2},{3},{1,2),{1,3},{2,3},A}例2设A={φ,{a}}，则P(A)=。解：P(A)={φ,{φ},{{a}},{φ,{a}}}例3设A={a,{a}}，下列命题中不正确的是。(1)(2)(3)(4)解:∵P(A
9、)={φ,{a},{{a}},{a,{a}}},∴不正确的是(2)1.2集合的运算及其性质一、集合的运算集合的运算有并、交、差、补和对称差。1。集合的并由所有属于A或属于B的元素组成的集合称为集合A与B的并集，记作。例如A={1,2,3,4}，B={2,4,6}，2。集合的交由所有既属于A又属于B的元素组成的集合称为集合A与B的交集，记作。例如A={1,2,3,4}，B={2,4,6}，集合的并、交与集合之间有如下关系：1。对于任意集合A、B2。如果ABAB例4，证明证明集合命题的第一种方法是通过在集合中任取一个元素，利用
10、集合的定义进行证明。证明：3。集合的差由所有属于A但不属于B的元素组成的集合称为集合A与B的差，记作A－B。集合A与B的差A－B与集合B与A的差B－A是不同的例如A={1,2,3,4}，B={2,4,6}，A－B={1,3}，B－A={6}4。补集由全集E中所有不属于A的元素组成的集合称为集合A的补集，记作~A。E故有A-BB-AA~A例5设A,B,C是整数集Z的子集，其中A={1,2,4}求解：A={1,2,4}，B={-3,-2,-1,0,1,2,3}，C={0,3,6,9}5。集合的对称差集合称为集合A、B的对称差，
11、记作。从右边的文氏图中可以看出:例如A={1,2,3,4}，B={2,4,6}，例6设E={1,2,3,4,5},A={1,4},B={1,2,5},C={2,4}求解:A-BB-A例7设集合，求。解：二、集合运算的性质集合的运算满足如下运算律。1交换律2结合律3分配律4幂等律5同一律6零律7补余律8吸收律9摩根律10双补律对称差的性质类似并集，有:交换律结合律分配律零一律消去律例8设A,B,C为任意集合，下列命题为真的是。A）如果C）B）如果D）例9，若，证明B=C证明集合恒等式的第二种方法是利用上面所述的运算律进行证明
12、。证明：D例10试证明对于任意集合A、B、C、D，有证明：例11化简下列集合表示式：解：(1)错误做法:正确做法是:(2)错误做法:正确做法是:1.3有限集合的计数一、有限集合的计数定理(容斥定理)(1)(2)(3)(4)(5)二、文氏图是有限集合计数的有效工具，图形区域的面积就表示集合中元素的个数。例
