点线面的位置关系与平行关系---讲义

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1、点、线、面位置关系以及线面平行关系【知识点梳理】1、公理及推论公理1：如果一条直线的两点在一个平面内，那么这条直线是所有的点都在这个平面内．用符号语言表示公理1：．公理1作用：判断直线是否在平面内．公理2：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线．符号：平面α和β相交，交线是a，记作α∩β＝a．符号语言：．公理2作用：①它是判定两个平面相交的方法．②它说明两个平面的交线与两个平面公共点之间的关系：交线必过公共点．③它可以判断点在直线上，即证若干个点共线的重要依据．公理3：经过不在同一条直线上的三点，有且只有一个

2、平面．推论：一直线和直线外一点确定一平面；两相交直线确定一平面；两平行直线确定一面．公理3及其推论作用：①它是空间内确定平面的依据；②它是证明平面重合的依据．公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行．2、空间直线与直线之间的位置关系（1）异面直线定义：不同在任何一个平面内的两条直线．（2）异面直线性质：既不平行，又不相交．（3）异面直线判定：过平面外一点与平面内一点的直线与平面内不过该店的直线是异面直线．（4）异面直线所成角：作平行，令两线相交，所得锐角或直角，即所成角．两条异面直线所成角的范围是（0°，90°]，若两条异面直线所成的角是

3、直角，我们就说这两条异面直线互相垂直．（5）求异面直线所成角步骤：A、利用定义构造角，可固定一条，平移另一条，或两条同时平移到某个特殊的位置，顶点选在特殊的位置上．B、证明作出的角即为所求角．C、利用三角形来求角．（6）异面直线的距离：两条异面直线的公垂线在这两条异面直线间的线段（公垂线段）的长度，叫做两条异面直线间的距离．（7）两条异面直线的公垂线有且只有一条．（8）等角定理：如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行，那么这两角相等或互补．3、空间直线与平面之间的位置关系直线在平面内——有无数个公共点．三种位置关系的符号表示：aα；a∩α

4、＝A；a∥α．直线与平面平行、直线与平面相交称为直线在平面外．17/184、平面与平面之间的位置关系：平行—没有公共点：α∥β；相交—有一条公共直线：α∩β＝l．5、直线和平面平行的判定定理：如果平面外一条直线和这个平面内一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行．（记忆口诀：线线平行线面平行）符号表示为：．图形如右图所示．Pab6、面面平行判定定理：如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行．用符号表示为：．图形如右图所示．βa7、直线和平面平行的性质定理：如果一条直线和一个平面平行，经过该直线的平面和这个平面相交，

5、那么这条直线和交线平行．（记忆口诀：线面平行线线平行）用符号表示为：．图形如右图所示．8、面面平行的性质定理：如果两个平行平面同时与第三个平面相交，那么它们的交线平行．用符号语言表示为：.其它性质：①；②；③夹在平行平面间的平行线段相等．图形如右图所示．17/18【典型例题】题型一、证明点或线共面、三点共线或三线共点问题例题1：如图，已知空间四边形ABCD中，E、F、G、H分别是AB、AD、BC、CD上的点，且EF交GH于P．求证：P在直线BD上．．变式1：如图，在空间四边形ABCD中，点E、H分别是边AB、AD的中点，F、G分别是边BC、

6、CD上的点，且＝＝，则（　　）（A）EF与GH互相平行（B）EF与GH异面（C）EF与GH的交点M可能在直线AC上，也可能不在直线AC上（D）EF与GH的交点M一定在直线AC上变式2：如图所示，设，，，分别是空间四边形的边，，，上的点，且，，求证：（1），，，四点共面；（2）当时，四边形是平行四边形；（3）当时，四边形是梯形．17/18题型二、异面直线的判定或求异面直线所成的角例题2：A是△BCD平面外的一点，E、F分别是BC、AD的中点，（1）求证：直线EF与BD是异面直线；（2）若AC⊥BD，AC=BD，求EF与BD所成的角．变式3：给

7、出下列关于互不相同的直线和平面的三个命题：①若为异面直线，，则；②若，则；③若，则，其中真命题的个数为（）A．3　　　　B．2　　　　C．1　　　　D．0题型三、直线与平面、平面与平面平行的判定例题3：如图所示，正方体ABCD—A1B1C1D1中，侧面对角线AB1，BC1上分别有两点E，F，且B1E=C1F．求证：EF∥平面ABCD．17/18变式4：一个多面体的直观图和三视图如图所示，其中M、N分别是AB、AC的中点，G是DF上的一动点．当FG=GD时，在棱AD上确定一点P，使得GP//平面FMC，并给出证明．题型四、证明线面平行与线面平

8、行性质的运用例题4：如下图，两个全等的正方形ABCD和ABEF所在平面相交于AB，M∈AC，N∈FB且AM=FN，求证：MN∥平面BCE．．17/18变式5：如下图，设a、b是异