成贤教材-高数B下习 题 课 下03

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1、习题课下03一、填空题1．已知，则其和函数，级数的和为。解：，，。2．已知，则其和函数，级数的和为。解：，。3．级数的和为。解：4．设，其中8，则。解：∵是余弦级数，它由的偶式延拓展开而产生且周期为2，∴二、选择题1．设幂级数在点收敛，则实数的取值范围是（A）（A）；（B）；（C）；（D）。解：令，，收敛半径，收敛域为，故的收敛域为。∴，∴。2．将展成的幂级数，其收敛域为（D）（A）；（B）；（C）；（D）。解：其中，即，故应选（D）。三、求幂级数的收敛域与和函数。解：∵，∴，收敛区间为（-2，2），当时，得，收敛的；当时，得，发散的；故收敛域为[-2，2）。8设和函数，，

2、，（或）。∴四、将下列函数展开成的幂级数1．解：2．解法1：。解法2：8∴3．解：，∵，，∴。五、将函数展开成的幂级数。解：令，，，，∴。8六、将函数展开成的幂级数，并求的和。（2003年考研题）解：，，当时，，∴。七、将展开成正弦级数，并求的和。解：先将作奇式延拓，再作周期延拓，则，当时，级数收敛于0，当时，级数收敛于，∴当时，得∴。八、利用幂级数证明欧拉公式：。证明：，在上式中以代，得，8∴.思考题：1．将展开成以2为周期的傅里叶级数，并求的和。解：∵是偶函数，∴。，∴。当时，得，又，∴。2．设试将展开成的幂级数，并求级数的和。（2001年考研题）解：，8但时，上述右边

3、的级数收敛于，故∴3．求幂级数的收敛区间与和函数。（2005年考研题）解：，得新幂级数，，新幂级数的收敛区间为，故原幂级数的收敛区间为。设，，，，，，，，又，，故，。8另解：，。4．求幂级数在区间内的和函数。（2005年考研题）解：设，，，则，。，，，，又，故，，故8