2016年全国大学生数学建模竞赛国家一等奖论文 A题 太阳影子定位模型

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1、太阳影子定位摘要本文主要研究的是太阳影子定位问题，需要确定出太阳影长变化模型，分析影长关于各个参数的变化规律，对直杆所处位置、日期进行确定。针对问题一，确立影长变化模型。首先以经度、纬度、日期、时间、杆长为参数分析影长的变化规律，通过中间变量太阳高度角、赤纬角、时角确立影长变化模型。其次利用影长变化模型求解出天安门在9:00-15:00影长变化曲线类似一条凹抛物线，其中最短影长出现时刻为12:12分，影长为3.84m。最后分析影子长度关于各个参数的变化规律，并运用误差传递公式观察每个参数误差对影长的影响程度，得到影长变化的相对误差限为0.23%。针对问题二，基于最小二乘法思想，建立单目标优化

2、模型。首先根据附件1数据计算出影长，将影长、日期、时间带入影长变化模型中，得到超定方程组。其次以影长差值平方和最小为目标函数，运用拟牛顿迭代法对模型进行求解，得0'0'0'0'到两个稳定的直杆位置为10912,1912EN和9524,2512EN，利用从文献中查找到的数据检验模型的合理性。最后以附件1中相邻时刻影长变化曲线夹角之差与对应太阳方位角之差相减，建立误差分析模型，对结果进行分析，得到0'0'10912,1912EN准确性更高。针对问题三，相对于问题二，需要多求解日期这个参数。基于最小二乘法思想，建立双目标优化模型。即以影长差值平方和最小，影长斜率角之差平方和最小为目标函

3、数。用分层求解法将多目标转化成单目标，运用人工鱼群算法对模型进行求解，得到附件2，附件3的直杆所处位置与日期见下表。位置坐标数据日期误差经度纬度-40'0附录27月10日5.4910785441-40'0附录311月25日1.0925101095428使用附件1的数据检验问题三模型，求出日期结果相对误差为0.05%，证明模型合理性。针对问题四：首先对视频中提取的影长图片进行灰度化，二值化，小连通域处理，运用Canny边缘检测算法提取预处理后图片的轮廓，通过透视变换提取出杆影顶端坐标。建立单目标优化模型，进行全局搜索得到视频拍摄地点为0'.0'10924EN,4012。如果拍摄日期未知

4、，可运用问题三多目标优化模型，通过0'.0'拟牛顿迭代法得出拍摄地点为1106EN,3936，日期为2015年7月19日。并对杆高进行了单因素敏感度分析。关键词：拟牛顿迭代法人工鱼群算法多目标优化模型Canny边缘检测算法11问题重述1.1问题的背景在历史的进程中，人类最早发明的判断时间的计时仪器有日晷、圭表等，主要是利用太阳的射影长短和方向来判断时间。日晷在设计上，由一个晷针在刻度盘上投射出阴影，盘上的标线即可指示出时间；而圭表利用了立竿见影的道理，由“圭”和“表”两个部件组成，可测定冬至日及回归年长度，还可确定方向和节气。如今通过分析视频中物体太阳影子的变化称为太阳影子定位技术，而如

5、何确定视频拍摄的地点和日期有待研究。1.2问题的相关信息根据附件提供的相关信息，以坐标系以直杆底端为原点，水平地面为xy,平面，直杆垂直于地面。附件1给出2015年4月18日北京时间14:42-15:42视频拍摄地点xy,坐标值；附件2给出某日北京时间12:41-13:41拍摄地点xy,坐标值；附件3给出某日北京时间13:09-14:09拍摄地点xy,坐标值。1.3需解决的问题根据题中所给信息，本文将问题细化为以下五个问题，并建立数学模型进行分析和研究。问题一：以北京9:0015:00为时间，天安门广场（北纬395426，东经1162329）为地点，建立描述影子长度变化的数学模

6、型，分设若干参数分析高3米的直杆影子长度的变化规律；问题二：为了确定在水平地面上固定直杆的拍摄地点，以直杆的太阳影子顶点为坐标数据建立数学模型，并将建立的模型应用于附件1，求解出若干可能的拍摄地点；问题三：为了确定在水平地面上固定直杆的拍摄地点和日期，以直杆的太阳影子顶点为坐标数据建立数学模型，并将建立的模型应用于附件2和附件3中的影子顶点坐标数据，求解出若干可能的拍摄地点与日期；问题四：（1）根据附件4所给视频，建立确定视频拍摄地点的数学模型，求解若干个可能的拍摄地点；（2）将附件4所给视频中的拍摄日期设为未知量，建立确定视频拍摄地点与日期的数学模型，确定此视频的拍摄地点与日期。2模型假设

7、与符号说明2.1模型的假设假设1：本文中所提供的数据真实可靠；假设2：太阳光为平行光，拍摄地点所处位置的高低对影长无影响；假设3：太阳影子运行过程中不受天气等外界因素影响；假设4：直杆的底座为正方体；22.2模型的符号说明符号符号说明赤纬角，太阳的直射纬度h太阳高度角，太阳相对于地面的高度角sA太阳方位角，太阳从北方沿着地平线顺时针度角的角太阳时角，天球子午圈沿天赤道量至太阳所在时圈的角距离d，n天数，时