2015年全国大学生数学建模竞赛国家一等奖论文 a题 太阳影子定位模型的分析

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1、太阳影子定位模型摘要针对太阳影子定位问题，本文结合地理学和天文学的相关知识，建立了不同数据类型下的太阳影子定位模型，实现了视频拍摄地点和日期的快速精准确定。对于问题一，首先从地理学角度，基于地理坐标，直杆长度，时间这三个影响影子长度的参数，计算出时角，赤纬角，太阳高度角，进而给出了影子长度与三个参数之间的关系式。结果显示，影长对日期和时刻都呈现出先减小后增大的趋势；对杆长呈正比关系增长；对经度呈现先急剧增长到峰值再突变为0，而后突变到峰值后再急剧下降；对纬度呈缓慢上升趋势。然后，根据附件1中提供的数据，

2、画出了天安门广场上直杆的太阳影子分布曲线图。对于问题二，基于问题一中对影响影子长度因素的分析，根据地理学知识建20219åiiå归i归i9立双目标规划模型，确立目标函数分别为：minDA-DA',minS-S'。9i=1i=19然后在约束条件下对杆子的地点坐标应用网格逼近算法优化求解，得出最符合题目所提供数据的杆子地理位置为：(19.1°E,108.71°N)——海南东方市境内，此时，杆长为2.03米，太阳方向角残差比为1.8%，影长残差比为0.9%，误差均很小。对于问题三，首先建立了与问题二相似

3、的目标规划模型，由于日期未知，模型求解的时间复杂度较高。为提高计算速度，引入了粒子群算法。分别对附件2和3中的数据进行分析，确定出的地点坐标分别为(80.51°E，32.13°N)，(110.20°E，24.83°N)和(81.43°E，32.24°N)，(111.56°E，23.68°N)，附件2为西藏阿里，日期为8/14或4/29，附件3为广西梧州市，日期为12/27或12/14。可以发现，两种算法的结果极为接近，但粒子群算法计算时间要远小于网格逼近算法。对于问题四，首先对视频数据进行采集和预处理，

4、由于视频拍摄角度的存在，从视频中直接得到的影长并不是实际长度，而是其投影长度，这里采用基于Hough变换和透视变换的图像矫正法，对斜视图像进行矫正，得出实际影长。然后将得到的数据带入问题二的模型中，给出视频拍摄地点为(110.70°E，42.31°N)——内蒙包头市境内；在拍摄日期未知的情况下，将变化而来的实际影长代入问题三的基于粒子群算法的目标规划模型，求解出视频拍摄地点为(109.76°E，42.66°N)——内蒙包头市境内，拍摄日期为6/11或7/13。对于模型的推广，根据物体采集到的太阳地理信息

5、进行计算，可以应用到求建筑物群合理间距问题。关键词：双目标规划粒子群算法Hough变换透视变换9一、问题的重述1.1问题的背景“日长影移”是生活中人人熟知的自然现象，这个词说明地面上的影子变化与太阳活动有着密切的联系。而古代智慧的先民就利用了这个现象制作了日晷，是最早且最精确的计时工具之一。在图像信息充斥的当代，如何通过图像数据获得图像拍摄时的相关信息是图像分析学科的重要课题，而利用太阳光影变换获得时间和地理信息，是非常方便可靠的。1.2问题的提出太阳影子定位技术，是通过分析视频中物体的太阳影子变化，确

6、定视频拍摄的地点和日期的一种方法。针对上述背景和应用需求，提出以下问题：1.建立影子长度变化的数学模型，分析影子长度关于各个参数的变化规律，并应用你们建立的模型画出2015年10月22日北京时间9:00-15:00之间天安门广场（北纬39度54分26秒,东经116度23分29秒）3米高的直杆的太阳影子长度的变化曲线。2.根据某固定直杆在水平地面上的太阳影子顶点坐标数据，建立数学模型确定直杆所处的地点。将你们的模型应用于附件1的影子顶点坐标数据，给出若干个可能的地点。3.根据某固定直杆在水平地面上的太阳影

7、子顶点坐标数据，建立数学模型确定直杆所处的地点和日期。将你们的模型分别应用于附件2和附件3的影子顶点坐标数据，给出若干个可能的地点与日期。4．如果已有一根直杆在太阳下的影子变化的视频，并且已通过某种方式估计出直杆的高度为2米。请建立确定视频拍摄地点的数学模型，并应用你们的模型给出若干个可能的拍摄地点。若拍摄日期未知，能否根据视频确定出拍摄地点与日期。二、问题的分析2.1问题一的分析题目要求在固定地点，给定日期和杆长的条件下，求解出直杆投影长度的变化曲线。对于水平地面上的垂直直杆，直杆长度与影子的比值即为

8、太阳高度角的正切值，因此需要知道此时间段内的太阳高度角变化。查阅资料[6]可得，太阳高度角与当地地方时、经纬度密切相关，因此知道上述两个量就可确定直杆的变化过程。2.2问题二的分析题目要求根据影子的变化情况和给出的日期求出直杆的位置，实际上是问题9一的逆求解过程。这里杆长和地点都是未知量，逆求解是非常困难的，于是将问题二转化为双目标规划问题。当太阳方位角与影长的实际值与理论值差值的绝对值之和达到最小时，所得经纬度即为杆子的地点坐标。2.3问