三角函数的应用（1）.4--船有触礁的危险吗

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1、§1.4 船有触礁的危险吗　　教学目标　　(一)教学知识点　　1.经历探索船是否有触礁危险的过程，进一步体会三角函数在解决问题过程中的应用.　　2.能够把实际问题转化为数学问题，能够借助于计算器进行有关三角函数的计算，并能对结果的意义进行说明.　　(二)能力训练要求　　发展学生的数学应用意识和解决问题的能力.　　(三)情感与价值观要求　　1.在经历弄清实际问题题意的过程中，画出示意图，培养独立思考问题的习惯和克服困难的勇气. 　　2.选择生活中学生感兴趣的题材，使学生能积极参与数学活动，提高学习数学、学好数学的

2、欲望.　　教具重点　　1.经历探索船是否有触礁危险的过程，进一步体会三角函数在解决问题过程中的作用.　　2.发展学生数学应用意识和解决问题的能力.　　教学难点　　根据题意，了解有关术语，准确地画出示意图.　　教学方法　　探索——发现法　　教具准备　　多媒体演示　　教学过程　　Ⅰ.创设问题情境，引入新课　　[师]直角三角形就像一个万花筒，为我们展现出了一个色彩斑澜的世界.我们在欣赏了它神秘的“勾股”、知道了它的边的关系后，接着又为我们展现了在它的世界中的边角关系，它使我们现实生活中不可能实现的问题，都可迎刃而解.

3、它在航海、工程等测量问题中有着广泛应用，例如测旗杆的高度、树的高度、塔高等.　　下面我们就来看一个问题(多媒体演示).　　海中有一个小岛A，该岛四周10海里内有暗礁.今有货轮由西向东航行，开始在A岛南偏西55°的B处，往东行驶20海里后，到达该岛的南偏西25°的C处，之后，货轮继续往东航行，你认为货轮继续向东航行途中会有触礁的危险吗?你是如何想的?与同伴进行交流.　　下面就请同学们用锐角三角函数知识解决此问题.(板书：船有触礁的危险吗)　　Ⅱ.讲授新课　　[师]我们注意到题中有很多方位，在平面图形中，方位是如何

4、规定的?　　[生]应该是“上北下南，左西右东”.　　[师]请同学们根据题意在练习本上画出示意图，然后说明你是怎样画出来的.　　[生]首先我们可将小岛A确定，货轮B在小岛A的南偏西55°的B处，C在B的正东方，且在A南偏东25°处.示意图如下.　　[师]货轮要向正东方向继续行驶，有没有触礁的危险，由谁来决定?　　[生]根据题意，小岛四周10海里内有暗礁，那么货轮继续向东航行的方向如果到A的最短距离大于10海里，则无触礁的危险，如果小于10海里则有触礁的危险.A到BC所在直线的最短距离为过A作AD⊥BC，D为垂足，

5、即AD的长度.我们需根据题意，计算出AD的长度，然后与10海里比较.　　[师]这位同学分析得很好，能将实际问题清晰条理地转化成数学问题.下面我们就来看AD如何求.根据题意，有哪些已知条件呢?　　[生]已知BC°＝20海里，∠BAD＝55°，∠CAD＝25°.　　[师]在示意图中，有两个直角三角形Rt△ABD和Rt△ACD.你能在哪一个三角形中求出AD呢?　　[生]在Rt△ACD中，只知道∠CAD=25°，不能求AD.　　[生]在Rt△ABD中，知道∠BAD=55°，虽然知道BC＝20海里，但它不是Rt△ABD的

6、边，也不能求出AD.　　[师]那该如何是好?是不是可以将它们结合起来，站在一个更高的角度考虑?　　[生]我发现这两个三角形有联系，AD是它们的公共直角边.而且BC是这两个直角三角形BD与CD的差，即BC＝BD-CD.BD、CD的对角是已知的，BD、CD和边AD都有联系.　　[师]有何联系呢?　　[生]在Rt△ABD中，tan55°＝，BD=ADtan55°；在Rt△ACD中，tan25°＝，CD＝ADtan25°.　　[生]利用BC＝BD-CD就可以列出关于AD的一元一次方程，即ADtan55°-ADtan25

7、°＝20.　　[师]太棒了!没想到方程在这个地方帮了我们的忙.其实，在解决数学问题时，很多地方都可以用到方程，因此方程思想是我们初中数学中最重要的数学思想之一.　　下面我们一起完整地将这个题做完.　　[师生共析]解：过A作BC的垂线，交BC于点D.得到Rt△ABD和Rt△ACD，从而BD=AD　　tan55°，CD＝ADtan25°，由BD-CD＝BC，又BC＝20海里.得　　ADtan55°-ADtan25°＝20.　　AD(tan55°-tan25°)＝20，　　AD=≈20.79(海里).　　这样AD≈2

8、0.79海里>10海里，所以货轮没有触礁的危险.　　[师]接下来，我们再来研究一个问题.还记得本章开头小明要测塔的高度吗?现在我们来看他是怎样测的，并根据他得到的数据帮他求出塔的高度.　　多媒体演示　　想一想你会更聪明：　　如图，小明想测量塔CD的高度.他在A处仰望塔顶，测得仰角为30°，再往塔的方向前进50m至B处.测得仰角为60°.那么该塔有多高?(小明的身高忽略不计，结果精确到1