三角函数的应用(1).4--船有触礁的危险吗

三角函数的应用(1).4--船有触礁的危险吗

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1、§1.4 船有触礁的危险吗  教学目标  (一)教学知识点  1.经历探索船是否有触礁危险的过程,进一步体会三角函数在解决问题过程中的应用.  2.能够把实际问题转化为数学问题,能够借助于计算器进行有关三角函数的计算,并能对结果的意义进行说明.  (二)能力训练要求  发展学生的数学应用意识和解决问题的能力.  (三)情感与价值观要求  1.在经历弄清实际问题题意的过程中,画出示意图,培养独立思考问题的习惯和克服困难的勇气.   2.选择生活中学生感兴趣的题材,使学生能积极参与数学活动,提高学习数学、学好数学的

2、欲望.  教具重点  1.经历探索船是否有触礁危险的过程,进一步体会三角函数在解决问题过程中的作用.  2.发展学生数学应用意识和解决问题的能力.  教学难点  根据题意,了解有关术语,准确地画出示意图.  教学方法  探索——发现法  教具准备  多媒体演示  教学过程  Ⅰ.创设问题情境,引入新课  [师]直角三角形就像一个万花筒,为我们展现出了一个色彩斑澜的世界.我们在欣赏了它神秘的“勾股”、知道了它的边的关系后,接着又为我们展现了在它的世界中的边角关系,它使我们现实生活中不可能实现的问题,都可迎刃而解.

3、它在航海、工程等测量问题中有着广泛应用,例如测旗杆的高度、树的高度、塔高等.  下面我们就来看一个问题(多媒体演示).  海中有一个小岛A,该岛四周10海里内有暗礁.今有货轮由西向东航行,开始在A岛南偏西55°的B处,往东行驶20海里后,到达该岛的南偏西25°的C处,之后,货轮继续往东航行,你认为货轮继续向东航行途中会有触礁的危险吗?你是如何想的?与同伴进行交流.  下面就请同学们用锐角三角函数知识解决此问题.(板书:船有触礁的危险吗)  Ⅱ.讲授新课  [师]我们注意到题中有很多方位,在平面图形中,方位是如何

4、规定的?  [生]应该是“上北下南,左西右东”.  [师]请同学们根据题意在练习本上画出示意图,然后说明你是怎样画出来的.  [生]首先我们可将小岛A确定,货轮B在小岛A的南偏西55°的B处,C在B的正东方,且在A南偏东25°处.示意图如下.  [师]货轮要向正东方向继续行驶,有没有触礁的危险,由谁来决定?  [生]根据题意,小岛四周10海里内有暗礁,那么货轮继续向东航行的方向如果到A的最短距离大于10海里,则无触礁的危险,如果小于10海里则有触礁的危险.A到BC所在直线的最短距离为过A作AD⊥BC,D为垂足,

5、即AD的长度.我们需根据题意,计算出AD的长度,然后与10海里比较.  [师]这位同学分析得很好,能将实际问题清晰条理地转化成数学问题.下面我们就来看AD如何求.根据题意,有哪些已知条件呢?  [生]已知BC°=20海里,∠BAD=55°,∠CAD=25°.  [师]在示意图中,有两个直角三角形Rt△ABD和Rt△ACD.你能在哪一个三角形中求出AD呢?  [生]在Rt△ACD中,只知道∠CAD=25°,不能求AD.  [生]在Rt△ABD中,知道∠BAD=55°,虽然知道BC=20海里,但它不是Rt△ABD的

6、边,也不能求出AD.  [师]那该如何是好?是不是可以将它们结合起来,站在一个更高的角度考虑?  [生]我发现这两个三角形有联系,AD是它们的公共直角边.而且BC是这两个直角三角形BD与CD的差,即BC=BD-CD.BD、CD的对角是已知的,BD、CD和边AD都有联系.  [师]有何联系呢?  [生]在Rt△ABD中,tan55°=,BD=ADtan55°;在Rt△ACD中,tan25°=,CD=ADtan25°.  [生]利用BC=BD-CD就可以列出关于AD的一元一次方程,即ADtan55°-ADtan25

7、°=20.  [师]太棒了!没想到方程在这个地方帮了我们的忙.其实,在解决数学问题时,很多地方都可以用到方程,因此方程思想是我们初中数学中最重要的数学思想之一.  下面我们一起完整地将这个题做完.  [师生共析]解:过A作BC的垂线,交BC于点D.得到Rt△ABD和Rt△ACD,从而BD=AD  tan55°,CD=ADtan25°,由BD-CD=BC,又BC=20海里.得  ADtan55°-ADtan25°=20.  AD(tan55°-tan25°)=20,  AD=≈20.79(海里).  这样AD≈2

8、0.79海里>10海里,所以货轮没有触礁的危险.  [师]接下来,我们再来研究一个问题.还记得本章开头小明要测塔的高度吗?现在我们来看他是怎样测的,并根据他得到的数据帮他求出塔的高度.  多媒体演示  想一想你会更聪明:  如图,小明想测量塔CD的高度.他在A处仰望塔顶,测得仰角为30°,再往塔的方向前进50m至B处.测得仰角为60°.那么该塔有多高?(小明的身高忽略不计,结果精确到1

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