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1、4 解直角三角形教学目标：1.了解解直角三角形的概念,使学生理解直角三角形中五个元素的关系.2.经历解直角三角形的过程,掌握运用勾股定理、直角三角形的两个锐角互余及锐角三角函数解直角三角形的方法.教学重难点：【重点】 理解并掌握直角三角形边角之间的关系,运用直角三角形的两锐角互余、勾股定理及锐角三角函数求直角三角形中的未知元素.【难点】 从已知条件出发,正确选用适当的边角关系或三角函数解题.复习引入：:课件出示:在日常生活中,我们常常遇到与直角三角形有关的问题,知道直角三角形的边可以求出角,知道角
2、也可以求出相应的边.如图所示,在Rt△ABC中共有几个元素?我们如何利用已知元素求出其他的元素呢?【师生活动】 复习直角三角形的性质(两锐角互余和勾股定理)和三角函数的概念.【学生活动】 通过独立思考和与同伴交流,分析出Rt△ABC中的6个元素,并尝试利用已知元素求未知元素.这节课我们就综合运用勾股定理、直角三角形的两个锐角互余及锐角三角函数的知识探究直角三角形中的边和角的求解方法.学习新知：一、已知两条边解直角三角形【做一做】 在Rt△ABC中,如果已知其中两边的长,你能求出这个三角形的其他元素
3、吗?课件出示:(教材例1)在Rt△ABC中,∠C=90°,∠A,∠B,∠C所对的边分别为a,b,c,且a=,b=,求这个三角形的其他元素.思路一教师引导学生分析:1.直角三角形中已知两边可以利用 定理求出第三条边. 2.直角三角形中,已知两边可以利用 求∠A(或∠B)的度数. 3.再利用 求∠B(或∠A)的度数. 【师生活动】 教师引导学生分析,得出解直角三角形的方法,理清解题思路.【学生活动】 得出结论:1.勾股定理 2.三角函数 2.两锐角互余解:在Rt△ABC中,a2+b2
4、=c2,a=,b=,∴c=2.在Rt△ABC中,sinB=,∴∠B=30°,∴∠A=60°.思路二分组探究,思考下面的问题:1.由两个已知条件a=,b=能不能求出其中的一个锐角?2.如何再求出另外一个锐角的度数?3.如何再求出第三条边的长?【师生活动】 学生先独立思考,然后小组讨论.教师巡视,及时发现问题,予以纠正.完成后各小组展示解题的方法和步骤,师生共同验证.解:在Rt△ABC中,a=,b=∴tanA=,∴∠A=60°,∴∠B=30°.在Rt△ABC中,sinB=sin30°==,即c=2b∴
5、c=2.【教师小结】 解直角三角形的概念:由直角三角形中已知的元素,求出所有的未知元素的过程,叫做解直角三角形.归纳： 已知直角三角形两条边求其他元素的方法:方法1:已知两条边的长度,可以先利用勾股定理求出第三边,然后利用锐角三角函数求出其中一个锐角,再根据直角三角形两锐角互余求出另外一个锐角.方法2:已知两条边的长度,可以先利用锐角三角函数求出其中一个锐角,然后根据直角三角形中两锐角互余求出另外一个锐角,再利用锐角三角函数求出第三条边.二、已知一条边和一个角解直角三角形（教材例2)在Rt△ABC
6、中,∠C=90°,∠A,∠B,∠C所对的边分别为a,b,c,且b=30,∠B=25°.求这个三角形的其他元素(边长精确到1).〔解析〕 在直角三角形中可以利用两锐角互余求另外一个锐角的度数,然后利用与锐角∠B和边b有关的三角函数先求出其中一条边a或c,再利用三角函数或勾股定理求出第三条边c或a.解:在Rt△ABC中,∠C=90°,∠B=25°,∴∠A=65°.∵sinB=,b=30,∴c=≈71.∵tanB=,b=30,∴a=≈64.【教师设疑】 此题还有其他解法吗?【学生活动】 学生相互交流他们
7、的解法.归纳 1.已知直角三角形一条边和一个锐角求其他元素的方法:已知一个锐角的度数,先根据直角三角形两锐角互余求出另外一个锐角的度数;又知道一条边的长度,根据三角函数的定义可以求出另外两条边的长度;也可以先利用三角函数的定义求出其中一条边的长度,再利用三角函数或勾股定理求出第三条边的长度. 2.解直角三角形的思路和方法:在Rt△ABC中,∠C=90°,∠A,∠B,∠C所对的边分别为a,b,c,则有:(1)三边之间的关系:a2+b2=c2(勾股定理).(2)锐角之间的关系:∠A+∠B=90°.(3
8、)边角之间的关系:sinA=,cosA=,tanA=,sinB=,cosB=,tanB=.(4)面积的不同表示法:S△ABC=ab=ch(h为斜边上的高).小结：1.解直角三角形的概念:由直角三角形中已知的元素,求出所有未知元素的过程,叫做解直角三角形.2.解直角三角形的类型:(1)已知直角三角形两条边求其他元素.(2)已知直角三角形一条边和一个锐角求其他元素.3.解直角三角形需要满足的条件:除直角外,再知道一条边和第三个元素,就可以解直角三角形.作业：【必做题】教材第17页习题1
