第十章重积分的应用

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1、第九章(二)重积分的应用重积分的应用十分广泛。尤其是在几何和物理两方面。几何方面的应用有利用二重积分求平面图形的面积；求曲面面积；利用三重积分求立体体积。物理方面的应用有求质量；求重心；求转动惯量；求引力等。在研究生入学考试中，该内容是《高等数学一》和《高等数学二》的考试内容。通过这一章节的学习，我们认为应达到如下要求：1、掌握重积分的几何和物理意义，并能应用于实际计算。2、对于重积分的应用领域和常见应用问题有全面的了解，并能利用重积分解决应用问题。3、具备空间想象能力，娴熟的重积分计算技巧和将理论转化为应用的能力。一、知识网络图二、典型错误

2、分析例1．求如下平面区域D的面积，其中D由直线及曲线所围成。如图：y（2，2）O12x[错解][分析]平面图形的面积可以利用二重积分来计算，这一点并没有错。问题在于区域D，若先按x积分，再按y积分，则应注意到区域D因此划分为两个部分，在这两个部分，x、y的积分限并不相同，因此此题若先积x,后积y，则应分两部分分别积分，再相加。[正确解]例2..设平面薄片所占的闭区域D是由螺线上一段弧与直线所围成，它的面密度为，求该薄片的质量。[错解][分析]平面物体的质量是以面密度函数为被积函数的二重积分，因此解法的第一步是正确的。注意到积分区域的边界有圆弧

3、，而被积函数为，因此积分的计算采用极坐标系算，这一点也是正确的。问题在于在直角坐标转化为极坐标时，应由来代替，解题过程中缺少了一项。导致计算结果错误。因此务必不能遗漏。[正确解]例3.计算以xoy面上的圆周围成的区域为底，而以曲面为顶的曲顶柱体的体积。[错解][分析]如按此思路求解，即使接下去采用极坐标变换法，计算量仍然相当大，极易导致计算错误。该解法的不当之处在于没有注意到底和面都具有对称性，可利用对称性减少计算量。[正确解]例4.求锥面被柱面所割下部分的曲面面积。[错解]锥面被柱面所割下部分的曲面在xoy面上的投影区域为，因此[分析]求曲

4、面的面积，应首先确定曲面在坐标面上的投影区域，这一点是正确的。但解法中忽略了求曲面积分在前应有一因子。[正确解]锥面被柱面所割下部分的曲面在xoy面上的投影区域为。而。因此例5．设薄片所占的闭区域D为半椭圆区域：，求均匀薄片的重心。[错解]：，所以。又因，所以。[分析]重心的计算公式为，但，而。此类公式容易混淆。[正确解]如图，yOx由于是均匀薄片，D为半椭圆区域具有对称性，因此。而，，所以，所以。三、综合题型分析例6.求由下列曲线所围成的闭区域D的面积：D由曲线所围成的第一象限内的闭区域。[分析]试着画草图发现区域D的形状不容易确定。但若注

5、意到四条曲线方程可变形为。由此想到可令，从而将不规则区域D化成一个方形区域。[解]令，则区域D化为：。，。[方法小结]对于不规则图形，欲求其面积，可注意其方程是否有规律性，从中寻求适当的变量替换，将不规则图形转化为规则图形，以简化计算。例7.求平面被三坐标面所割出的有限部分的面积。[分析]根据曲面面积计算公式：，平面在xoy面上的投影为，即以a,b为直角边的直角三角形。如图：zObyax[解]平面可表示为。故，=。=[方法小结]根据曲面面积计算公式：。首先须将曲面方程化成的形式。并求出曲面在坐标面上的投影区域。本题的特点在于因子为一常数。因此

6、问题就转化为计算投影区域的面积。而本题的投影区域恰好为一三角形。故可直接求出其面积。例8．计算由四个平面所围成的柱体被平面及截得的立体的体积。[分析]首先要画出题设的柱体。为此先考察柱体在xoy面上的投影：。因为柱体被平面所截，其在投影正方形四个顶点上的高分别为6，3，1，4，连接相应的交线，即得所求立体的草图。z12y13x[解][方法小结]求立体图形的体积,关键在于正确地画出图形.为此须了解各类常见空间几何体(如平面、直线、二次曲面等)的方程和形状。并能绘出各类几何体的交点或交线。从而确定所求几何体的形状。例9．求由平面所围成的柱体被平面

7、及抛物面截得的立体的体积。[分析]求立体的体积，首先需画出草图。注意到抛物面开口向下，因此截柱体所得立体以为顶，以平面为底。而在xoy面上的投影区域为一三角形区域,由所围成。z6O1y1x[解][方法小结]若所求立体为柱体被其他曲面所截得，则只需确定其顶部曲面方程和底部曲面方程。即得z的积分区域。而x,y的积分区域则可根据顶部在xoy面上的投影而定。例10.利用三重积分计算下列曲面：球面及所围成的立体的体积。[分析]所求立体的上部为球面，下部为圆锥面，在在xoy面上的投影区域为圆。因此不难化成三重积分。但注意到所涉及的曲面方程，用球面坐标计算

8、会更为方便。所求立体如图所示:zaOyx[解]用球面坐标，立体区域为[方法小结]若所求立体为球面、圆锥曲面等所围成，投影区域为圆域，则采用球面坐标计算更为方便。例1