勾股定理与应用

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1、第五次课勾股定理及其应用本章知识要点A.勾股定理及其逆定理。B.验证、证明勾股定理及其依据（面积法）。C.勾股数组、基本勾股数组及勾股数的推算公式。D.勾股定理及其逆定理的应用。E.感受“方程”思想、“数形结合”思想、“化归与转化”思想等数学思想。内容/概念表示方法/举例直角三角形两直角边的平方和如果用a，b表示直角三角形勾股定理等于斜边的平方的两直角边，c表示斜边，222那么abc勾股定理的如果一个三角形的三边满足：两用a,b,c（c为最长边）表示逆定理短边的平方和等于最长边的平三角形的三边，如果方，那么这个三角形是直角三角222abc，那么这个三角形形是直角三角形满足a2b2

2、c2的三个正整数，常见的勾股数有：3,4,5；勾股数5,12,13；6,8,10；7,24,25；称为一组勾股数8,15,17等满足a2b2c2且a,b,c互质的常见的基本勾股数组有：基本勾股数组3,4,5；5,12,13；7,24,25；三个正整数，称为一组基本勾股8,15,17等数组重点知识勾股定理的验证验证方法验证过程如右图，直角梯形的面积等于三个直角三角形的面积之和，所（美）伽菲尔以1abab21ab1c2，即222德总统拼图222abc如右图，用四个全等的直角三角形可得到一个以ba为边长的小正方形和一个边长为c的大正方形，因为大正方形的边长2为

3、c，所以面积为c，又因为大正方形被分割成了四个全等的直角边长分别为a,b的直角三角形和一个边长为ba的正方形，所以其面积为122124abba所以c4abba，赵爽弦图22222从而cab.如右图，通过拼图，以c为边长的正方形面积等于分别以刘徽：青朱出a,b为边长的两个正方形的面入图积之和用拼图法验证勾股定理的思路：①图形经过割补拼接后，只要名师提示没有重叠、没有空隙，那么面积就不会改变；②根据同一种图形面积的不同表示方法（简称面积法）列出等式，推导勾股定理重点知识确定几何体上的最短路线描述示意图DADA7乙9EBEFB5FC展A开AD丙D甲BEEFFC将长

4、方体相邻长侧面展开，转方化成一个长方体形几何体圆柱的侧面展BAAB的圆开图是一个长侧柱方形面展开展开图222ABBABB(1)对于长方体相邻两个面的展开图，一定要注意打开的是哪一个侧面，比较三种打开方式的路径长度，得到最短路径.名师提示(2)勾股定理是直角三角形的一个重要性质，它把三角形有一个直角的“形”的特征，转化为三边“数”的关系，是数形结合的一个典范(3)直角三角形的判别条件可以应用到实际生活中，也就是把一些实际问题转化为数学问题来解决。例1两个全等的长方形如图1-1-1放置，可验证勾股定理.连接AC,AC，CC，222设AB=a，BC=b，AC=c，请利用四边形BCCD

5、的面积验证勾股定理abc.图1DA-1-1CB例2(1)在下列数组①3，4，5；②4，5，6；③5，12，13；④6，8，10；⑤7，40，41；⑥8，15，17；⑦10，24，26中，勾股数组有：______________；基本勾股数组有_____________。o(2)已知ABC中，B90，A,B,C的对应边分别是a,b,c，且a5,b12，2则c(3)已知一直角三角形中有两边长分别为3和4，第三边的平方为例3已知，如图1-1-2，四边形ABCD中，AB=3cm，AD=4cm，BC=13cm，CD=12cm，且∠A=90°，求四边形ABCD的面积例4如图1-1

6、-4，已知在△ABC中，AB=10，BC=21，AC=17，求BC边上的高AD图1-1-4的长.例5（1）已知Rt△ABC的两直角边AC=5，BC=12，D是BC上一点．当AD是∠A的平分线时，求CD的长？（2）如图1-1-5，一张长为8cm,宽为4cm的矩形纸片ABCD沿EF折叠，点C恰好落在点A上，求AE的长。图1-1-5（3）如图1-1-6,将矩形ABCD沿直线AE折叠,顶点D恰好落在BC边上F点处,已知AB=3,BC=4,求图中阴影部分的面积.．图1-1-6例6.（1）如图1-2-9（1），有一只小鸟从小树顶飞到大树顶上，请问它飞行的最短路程是多少米？（先画出示意图，然后再求解）图1

7、-2-9（1）（2）如图1-1-9（2），台风过后，一希望小学的旗杆在离地某处断裂，旗杆顶部落在离旗杆底部8m处，已知旗杆原长16m，你能求出旗杆在离底部多少米的位置断裂吗？图1-1-9（2）例7如图1-2-6，A、B两个小镇在河流CD同侧，到河的距离分别为AC＝10千米，BD＝30千米，且CD＝30千米，现在要在河岸上修建一个自来水厂，分别向A、B两镇供水.铺设水管的费用为每千米3万元，请你在河岸上选择自来