资源描述：
《量子力学第3章》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、第三章形式理论由于微观粒子具有波粒二象性,微观粒子状态的描述方式和经典粒子不同,它需要用波函数来描写,波函数满足薛定谔方程。我们已经对量子力学的初步轮廓有了一定的了解。但是还有一些问题没有解决。比如，对一个状态如果测量坐标以外的力学量，我们可能得到什么值？几率是多少？对代表力学量的算符有什么要求？它们有什么性质？本章讨论如何引入算符来表示力学量,及量子力学中的一般规律所取的形式.算符是指作用在一个函数上得出另一个函数的运算符号Ôu=v表示Ô把函数u变成v，Ô就是这种变换的算符。1）du/dx=v，d/dx就是算符，其作用是对函数u微商，故称为微商算符。
2、2）xu=v，x也是算符。它对u作用是使u变成v。由于算符只是一种运算符号，所以它单独存在是没有意义的，仅当它作用于波函数上，对波函数做相应的运算才有意义，例如：（一）算符定义§1算符（7）逆算符（8）算符函数（9）复共轭算符（10）转置算符（11）厄密共轭算符（12）厄密算符（1）线性算符（2）算符相等（3）算符之和（4）算符之积（5）对易关系（6）对易括号（二）算符的一般特性（1）线性算符Ô(c1ψ1+c2ψ2)=c1Ôψ1+c2Ôψ2其中c1,c2是任意复常数，ψ1,ψ1是任意两个波函数。满足如下运算规律的算符Ô称为线性算符（2）算符相等若两个算
3、符Ô、Û对体系的任何波函数ψ的运算结果都相同，即Ôψ=Ûψ，则算符Ô和算符Û相等记为Ô=Û。例如：开方算符、取复共轭就不是线性算符。注意：描写可观测量的力学量算符都是线性算符，这是态叠加原理的反映。（3）算符之和若两个算符Ô、Û对体系的任何波函数ψ有：(Ô+Û)ψ=Ôψ+Ûψ=Êψ则Ô+Û=Ê称为算符之和。显然，算符求和满足交换率和结合率。例如：体系Hamilton算符注意，算符运算没有相减，因为减可用加来代替。Ô-Û=Ô+（-Û）。很易证明线性算符之和仍为线性算符。（4）算符之积若Ô(Ûψ)=(ÔÛ)ψ=Êψ则ÔÛ=Ê其中ψ是任意波函数。一般来说算符
4、之积不满足交换律，即ÔÛ≠ÛÔ这是算符与通常数运算规则的唯一不同之处。（5）对易关系若ÔÛ≠ÛÔ，则称Ô与Û不对易。显然二者结果不相等，所以:对易关系量子力学中最基本的对易关系。若算符满足ÔÛ=-ÛÔ，则称Ô和Û反对易。写成通式:但是坐标算符与其非共轭动量对易，各动量之间相互对易。注意：当Ô与Û对易，Û与Ê对易，不能推知Ô与Ê对易与否。例如：（6）对易括号为了表述简洁，运算便利和研究量子力学与经典力学的关系，人们定义了对易括号：[Ô,Û]≡ÔÛ-ÛÔ这样一来，坐标和动量的对易关系可改写成如下形式：不难证明对易括号满足如下对易关系：1)[Ô,Û]=-[Û
5、,Ô]2)[Ô,Û+Ê]=[Ô,Û]+[Ô,Ê]3)[Ô,ÛÊ]=[Ô,Û]Ê+Û[Ô,Ê]4)[Ô,[Û,Ê]]+[Û,[Ê,Ô]]+[Ê,[Ô,Û]]=0上面的第四式称为Jacobi恒等式。（7）逆算符1.定义:设Ôψ=φ,能够唯一的解出ψ,则可定义算符Ô之逆Ô-1为:Ô-1φ=ψ并不是所有算符都存在逆算符,例如投影算符就不存在逆.2.性质I:若算符Ô之逆Ô-1存在,则ÔÔ-1=Ô-1Ô=I,[Ô,Ô-1]=0证:ψ=Ô-1φ=Ô-1(Ôψ)=Ô-1Ôψ因为ψ是任意函数,所以Ô-1Ô=I成立.同理,ÔÔ-1=I亦成立.3.性质II:若Ô,Û均存在逆
6、算符,则(ÔÛ)-1=Û-1Ô-1例如:设给定一函数F(x),其各阶导数均存在,其幂级数展开收敛则可定义算符Û的函数F(Û)为:（9）复共轭算符算符Û的复共轭算符Û*就是把Û表达式中的所有量换成复共轭.例如:坐标表象中（8）算符函数利用波函数标准条件:当
7、x
8、→∞时ψ,→0。由于ψ、φ是任意波函数,所以同理可证:（10）转置算符(11)厄密共轭算符由此可得：:转置算符的定义厄密共轭算符亦可写成：算符Ô之厄密共轭算符Ô+定义:可以证明:(ÔÂ)+=Â+Ô+(ÔÂÛ...)+=...Û+Â+Ô+(12)厄密算符1.定义:满足下列关系的算符称为厄密算符.2
9、.性质性质I:两个厄密算符之和仍是厄密算符。即若Ô+=Ô,Û+=Û则(Ô+Û)+=Ô++Û+=(Ô+Û)性质II:两个厄密算符之积一般不是厄密算符,除非二算符对易。因为(ÔÛ)+=Û+Ô+=ÛÔ≠ÔÛ仅当[Ô,Û]=0成立时,(ÔÛ)+=ÔÛ才成立。算符的本征方程：如果一个算符作用在一个函数上得到的结果是一个常数乘以这个函数，即3.2厄密算符这个方程称为算符的本征方程，常数称为本征值，称为本征函数。一个算符可以有多个本征函数和本征值（包括无限多个）。如果本征值是分立的，称为分离谱，如果本征值是连续的，称为连续谱。（注意，0不能作为本征函数，但是可以
10、是本征值。）例：自由粒子的哈密顿算符的本征值是连续谱。例：一维谐振子的哈密顿是分离谱，有无限多
