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1、1.连续函数的四则运算2.反函数与复合函数的连续性3.初等函数的连续性基本初等函数在各自的定义域上都连续.初等函数在其各自的定义域上都连续.这里定义区间指包含在其定义域内的区间.4.闭区间上连续函数的性质1.11连续函数的运算与性质一、连续函数的算术运算定理1若函数在点处连续,则在点处也连续.例如,在内连续,故在其定义域内连续.二、复合函数的连续性定理2若函数在点处连续,则有证在点处连续,当时,恒有又对上述当时,恒有结合上述两步得,当时,恒有意义1.2.极限符号可以与连续函数符号互换;的理论依据.定理2
2、给出了变量代换定理3设函数在点处连续,且而函数在点处连续,则复合函数在点处也连续.注意定理4是定理3的特殊情况.例如,在内连续,在内连续,在内连续.例1完求解例完求解例2完求解因为所以三、初等函数的连续性三角函数及反三角函数的;指数函数在内单调且连续;对数函数在内单调且连续;在内连续.讨论的不同值(均在其定义域内连续).在它们的定义域内是连续初等函数的连续性讨论的不同值(均在其定义域内连续).定理4基本初级函数定理5一切初级函数定义区间是指注意1.但在其定义域内不一定连续.例如,在这些孤立点的领域内没有
3、定义.及在定义域内是连续的.在其定义区间内都是连续的.包含在定义域内的区间.初等函数仅在其定义区间内连续,在这些孤立点的领域内没有定义.及在0点的领域内没有定义,函数在区间上2.定义区间).连续.初等函数求极限的方法(代入法)完例3完求解因为是初等函数,且是其定义区间内的点,所以在点处连续,于是幂指函数因为故幂指函数可化为复合函数.易见:若则即注意公式成立的条件例6求称为幂指函数.解完形如的函数定义对于在区间上有定义的函数如果有使得对于任一都有则称是函数在区间上的最大(小)值.例如,在上,在上,四、闭区
4、间上连续函数的性质定理6最大值和最小值定理在闭区间上连续的函数一定有最大值和最小值.定理7有界性定理在闭区间上连续的函数证设函数在上连续,于是存在、使得有取故函数在上有界.完一定在该区间上有界.定义如果使则称为函数的零点.定理8零点定理设函数在闭区间上连续,且与异号(即即至少有一点使那么在开区内至少有函数间的一个零点,即方程在内至少存在一个实根.定理9介值定理设函数在闭区间上连续,且在这区间的端点取不同的函数值推论1在闭区间上连续的函数与最小值之间的任何值.必取得介于最大值例5完证证明方程少有一个实根.
5、令则在上连续.又由零点定理,使即方程根在区间内至在内至少有一个实例6完证设函数在区间上连续,且证明:使得令则在上连续.而由零点定理,使即1.设试研究复合函数与的连续性.2.估计方程的根的位置.课堂练习1.设试研究复合函数与的连续性.解在上处处连续.又在上处处连续，故是它的可去间断点.2.估计方程的根的位置.解设则在内连续.由于根据介值定理的推论可知，在和内至少各有一个根.所以该方程在和内各有一个根.完又因为三次方程的根最多有三个，内容小结1.连续函数的四则运算2.反函数与复合函数的连续性3.初等函数的连
6、续性基本初等函数在各自的定义域上都连续.初等函数在其各自的定义域上都连续.这里定义区间指包含在其定义域内的区间.4.闭区间上连续函数的性质
