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1、一、集合常量与变量二、函数概念三、函数的几种特性四、反函数§1。1函数函数举例定义域、函数的图形、函数的定义、集合、区间、邻域、常量与变量有界性、单调性、奇偶性、周期性1.集合集合(简称集):集合是指具有某种特定性质的事物的总体。集合用A，B，M等表示。元素:组成集合的事物称为集合的元素。a是集合M的元素表示为aM。集合的表示:(1)A={a,b,c,d,e,f,g}。(2)M={(x,y)
2、x，y为实数，x2+y2=1}。一、集合常量与变量几个数集:N表示所有自然数构成的集合，称为自然数集。R表示所有实数构成的集合，称为实数集。Z表示
3、所有整数构成的集合，称为整数集。Q表示所有有理数构成的集合，称为有理集。子集:若xA，则必有xB，则称A是B的子集，记为AB（读作A包含于B）。显然，NZ，ZQ，QR。数集{x
4、a5、a6、axb}称为闭区间。xOab[a，b][a,b)={x7、ax8、a9、)xOb(-，b](-,b]={x10、xb}，(-,+)={x11、12、x13、<+}。[a,+)={x14、ax}，以下区间称为无限区间：xOb(-，b)(-,b)={x15、xb}，(a,+)={x16、ax}，axO(a，+)邻域:以点a为中心的任何开区间称为点a的邻域，记作U(a)。设>0，则称区间(a-,a+)为点a的邻域，记作U(a,)，即U(a,)={x17、a-18、19、x-a20、<}。其中点a称为邻域的中心,称为邻域的半径。去心邻域:(a,)={x21、0<22、x-a23、<}。xOa-da+d24、U(a,)，xOa-da+d(a，d)a2.常量与变量在观察自然现象或技术过程时，常会遇到各种不同的量，其中有的量在过程中不起变化始终只取同一数值，这种量叫做常量。常用字母为a，b，c，d，e，h，i，k，l，m，n等。常量与变量用什么符号不是绝对的，但应尊重数学的习惯。还有一些量在过程中是变化着的，也就是可以取不同的数值，这种量叫做变量。常用字母为x，y，z，u，v，w，s，t等。变量x所取数值的全体组成的数集M称为变量x的变域，此时x表示数集M中任何一个元素。二、函数概念1.举例圆的面积的计算公式为A=pr2，半径r可取(0,+)25、内的任意值。由落体下落距离的计算公式为s=-gt2，t可取[0,T]内的任意值。12圆内接正n边形的周长的计算公式为Sn=2nrsin-，n可取3，4，5，。pn2.函数的定义设x和y是两个变量，D是一个给定的数集。如果对于每个数xD，变量y按照一定法则总有确定的数值和它对应，则称y是x的函数，记作y=f(x)。定义中，数集D叫做这个函数的定义域，x叫做自变量，y叫做因变量。函数符号:函数y=f(x)中表示对应关系的记号f也可改用其它字母，例如j、F等。此时函数就记作y=j(x)，y=F(x)。值域：W={y26、y=f(x)，xD27、}。定义域：在数学中，有时不考虑函数的实际意义，而抽象地研究用算式表达的函数。这时约定函数的定义域就是自变量所能取的使算式有意义的一切实数值。函数值：当x取数值x0D时，与x0对应的y的数值称为函数y=f(x)在点x0处的函数值，记为f(x0)。求函数的定义域举例：解:要使函数有意义，必须x0，且x2-4³0。解不等式得28、x29、³2。函数的定义域为D={x30、31、x32、³2}，或D=(-¥,2][2,+¥)。3.函数的图形在坐标系xOy内，集合C={(x,y)33、y=f(x)，xD}所对应的图形称为函数y=f(x)的图形。OyxC(x,y)x34、yWDy=f(x)如果自变量在定义域内任取一个数值时，对应的函数值问题只有一个，这种函数叫做单值函数，否则叫做多值函数。以后凡是没有特别说明时，函数都是指单值函数。4.函数举例例1.在直角坐标系中，由方程x2+y2=r2确定了一个函数。对于任意x(-r,r)，对应的函数值有两个：例2.函数y=2。函数的定义域为D=(-,+)。函数的值域为W={2}。函数的图形为一条平行于x轴的直线。yOxy=22函数的定义域为D=(-,+)。函数的值域为W=[0,+)。yxOy=35、x36、x,x0-x,x<0y=37、x38、=称为绝对值函数。例3.函39、数函数的定义域为D=(-,+)。函数的值域为W={-1,0,1}。Oxy21-1-2y=sgnx1,当x>00,当x=0-1,当x<0例4.函数y=sgnx=称为符号函数。例5.函数y=[
5、a6、axb}称为闭区间。xOab[a，b][a,b)={x7、ax8、a9、)xOb(-，b](-,b]={x10、xb}，(-,+)={x11、12、x13、<+}。[a,+)={x14、ax}，以下区间称为无限区间：xOb(-，b)(-,b)={x15、xb}，(a,+)={x16、ax}，axO(a，+)邻域:以点a为中心的任何开区间称为点a的邻域，记作U(a)。设>0，则称区间(a-,a+)为点a的邻域，记作U(a,)，即U(a,)={x17、a-18、19、x-a20、<}。其中点a称为邻域的中心,称为邻域的半径。去心邻域:(a,)={x21、0<22、x-a23、<}。xOa-da+d24、U(a,)，xOa-da+d(a，d)a2.常量与变量在观察自然现象或技术过程时，常会遇到各种不同的量，其中有的量在过程中不起变化始终只取同一数值，这种量叫做常量。常用字母为a，b，c，d，e，h，i，k，l，m，n等。常量与变量用什么符号不是绝对的，但应尊重数学的习惯。还有一些量在过程中是变化着的，也就是可以取不同的数值，这种量叫做变量。常用字母为x，y，z，u，v，w，s，t等。变量x所取数值的全体组成的数集M称为变量x的变域，此时x表示数集M中任何一个元素。二、函数概念1.举例圆的面积的计算公式为A=pr2，半径r可取(0,+)25、内的任意值。由落体下落距离的计算公式为s=-gt2，t可取[0,T]内的任意值。12圆内接正n边形的周长的计算公式为Sn=2nrsin-，n可取3，4，5，。pn2.函数的定义设x和y是两个变量，D是一个给定的数集。如果对于每个数xD，变量y按照一定法则总有确定的数值和它对应，则称y是x的函数，记作y=f(x)。定义中，数集D叫做这个函数的定义域，x叫做自变量，y叫做因变量。函数符号:函数y=f(x)中表示对应关系的记号f也可改用其它字母，例如j、F等。此时函数就记作y=j(x)，y=F(x)。值域：W={y26、y=f(x)，xD27、}。定义域：在数学中，有时不考虑函数的实际意义，而抽象地研究用算式表达的函数。这时约定函数的定义域就是自变量所能取的使算式有意义的一切实数值。函数值：当x取数值x0D时，与x0对应的y的数值称为函数y=f(x)在点x0处的函数值，记为f(x0)。求函数的定义域举例：解:要使函数有意义，必须x0，且x2-4³0。解不等式得28、x29、³2。函数的定义域为D={x30、31、x32、³2}，或D=(-¥,2][2,+¥)。3.函数的图形在坐标系xOy内，集合C={(x,y)33、y=f(x)，xD}所对应的图形称为函数y=f(x)的图形。OyxC(x,y)x34、yWDy=f(x)如果自变量在定义域内任取一个数值时，对应的函数值问题只有一个，这种函数叫做单值函数，否则叫做多值函数。以后凡是没有特别说明时，函数都是指单值函数。4.函数举例例1.在直角坐标系中，由方程x2+y2=r2确定了一个函数。对于任意x(-r,r)，对应的函数值有两个：例2.函数y=2。函数的定义域为D=(-,+)。函数的值域为W={2}。函数的图形为一条平行于x轴的直线。yOxy=22函数的定义域为D=(-,+)。函数的值域为W=[0,+)。yxOy=35、x36、x,x0-x,x<0y=37、x38、=称为绝对值函数。例3.函39、数函数的定义域为D=(-,+)。函数的值域为W={-1,0,1}。Oxy21-1-2y=sgnx1,当x>00,当x=0-1,当x<0例4.函数y=sgnx=称为符号函数。例5.函数y=[
6、axb}称为闭区间。xOab[a，b][a,b)={x
7、ax8、a9、)xOb(-，b](-,b]={x10、xb}，(-,+)={x11、12、x13、<+}。[a,+)={x14、ax}，以下区间称为无限区间：xOb(-，b)(-,b)={x15、xb}，(a,+)={x16、ax}，axO(a，+)邻域:以点a为中心的任何开区间称为点a的邻域，记作U(a)。设>0，则称区间(a-,a+)为点a的邻域，记作U(a,)，即U(a,)={x17、a-18、19、x-a20、<}。其中点a称为邻域的中心,称为邻域的半径。去心邻域:(a,)={x21、0<22、x-a23、<}。xOa-da+d24、U(a,)，xOa-da+d(a，d)a2.常量与变量在观察自然现象或技术过程时，常会遇到各种不同的量，其中有的量在过程中不起变化始终只取同一数值，这种量叫做常量。常用字母为a，b，c，d，e，h，i，k，l，m，n等。常量与变量用什么符号不是绝对的，但应尊重数学的习惯。还有一些量在过程中是变化着的，也就是可以取不同的数值，这种量叫做变量。常用字母为x，y，z，u，v，w，s，t等。变量x所取数值的全体组成的数集M称为变量x的变域，此时x表示数集M中任何一个元素。二、函数概念1.举例圆的面积的计算公式为A=pr2，半径r可取(0,+)25、内的任意值。由落体下落距离的计算公式为s=-gt2，t可取[0,T]内的任意值。12圆内接正n边形的周长的计算公式为Sn=2nrsin-，n可取3，4，5，。pn2.函数的定义设x和y是两个变量，D是一个给定的数集。如果对于每个数xD，变量y按照一定法则总有确定的数值和它对应，则称y是x的函数，记作y=f(x)。定义中，数集D叫做这个函数的定义域，x叫做自变量，y叫做因变量。函数符号:函数y=f(x)中表示对应关系的记号f也可改用其它字母，例如j、F等。此时函数就记作y=j(x)，y=F(x)。值域：W={y26、y=f(x)，xD27、}。定义域：在数学中，有时不考虑函数的实际意义，而抽象地研究用算式表达的函数。这时约定函数的定义域就是自变量所能取的使算式有意义的一切实数值。函数值：当x取数值x0D时，与x0对应的y的数值称为函数y=f(x)在点x0处的函数值，记为f(x0)。求函数的定义域举例：解:要使函数有意义，必须x0，且x2-4³0。解不等式得28、x29、³2。函数的定义域为D={x30、31、x32、³2}，或D=(-¥,2][2,+¥)。3.函数的图形在坐标系xOy内，集合C={(x,y)33、y=f(x)，xD}所对应的图形称为函数y=f(x)的图形。OyxC(x,y)x34、yWDy=f(x)如果自变量在定义域内任取一个数值时，对应的函数值问题只有一个，这种函数叫做单值函数，否则叫做多值函数。以后凡是没有特别说明时，函数都是指单值函数。4.函数举例例1.在直角坐标系中，由方程x2+y2=r2确定了一个函数。对于任意x(-r,r)，对应的函数值有两个：例2.函数y=2。函数的定义域为D=(-,+)。函数的值域为W={2}。函数的图形为一条平行于x轴的直线。yOxy=22函数的定义域为D=(-,+)。函数的值域为W=[0,+)。yxOy=35、x36、x,x0-x,x<0y=37、x38、=称为绝对值函数。例3.函39、数函数的定义域为D=(-,+)。函数的值域为W={-1,0,1}。Oxy21-1-2y=sgnx1,当x>00,当x=0-1,当x<0例4.函数y=sgnx=称为符号函数。例5.函数y=[
8、a9、)xOb(-，b](-,b]={x10、xb}，(-,+)={x11、12、x13、<+}。[a,+)={x14、ax}，以下区间称为无限区间：xOb(-，b)(-,b)={x15、xb}，(a,+)={x16、ax}，axO(a，+)邻域:以点a为中心的任何开区间称为点a的邻域，记作U(a)。设>0，则称区间(a-,a+)为点a的邻域，记作U(a,)，即U(a,)={x17、a-18、19、x-a20、<}。其中点a称为邻域的中心,称为邻域的半径。去心邻域:(a,)={x21、0<22、x-a23、<}。xOa-da+d24、U(a,)，xOa-da+d(a，d)a2.常量与变量在观察自然现象或技术过程时，常会遇到各种不同的量，其中有的量在过程中不起变化始终只取同一数值，这种量叫做常量。常用字母为a，b，c，d，e，h，i，k，l，m，n等。常量与变量用什么符号不是绝对的，但应尊重数学的习惯。还有一些量在过程中是变化着的，也就是可以取不同的数值，这种量叫做变量。常用字母为x，y，z，u，v，w，s，t等。变量x所取数值的全体组成的数集M称为变量x的变域，此时x表示数集M中任何一个元素。二、函数概念1.举例圆的面积的计算公式为A=pr2，半径r可取(0,+)25、内的任意值。由落体下落距离的计算公式为s=-gt2，t可取[0,T]内的任意值。12圆内接正n边形的周长的计算公式为Sn=2nrsin-，n可取3，4，5，。pn2.函数的定义设x和y是两个变量，D是一个给定的数集。如果对于每个数xD，变量y按照一定法则总有确定的数值和它对应，则称y是x的函数，记作y=f(x)。定义中，数集D叫做这个函数的定义域，x叫做自变量，y叫做因变量。函数符号:函数y=f(x)中表示对应关系的记号f也可改用其它字母，例如j、F等。此时函数就记作y=j(x)，y=F(x)。值域：W={y26、y=f(x)，xD27、}。定义域：在数学中，有时不考虑函数的实际意义，而抽象地研究用算式表达的函数。这时约定函数的定义域就是自变量所能取的使算式有意义的一切实数值。函数值：当x取数值x0D时，与x0对应的y的数值称为函数y=f(x)在点x0处的函数值，记为f(x0)。求函数的定义域举例：解:要使函数有意义，必须x0，且x2-4³0。解不等式得28、x29、³2。函数的定义域为D={x30、31、x32、³2}，或D=(-¥,2][2,+¥)。3.函数的图形在坐标系xOy内，集合C={(x,y)33、y=f(x)，xD}所对应的图形称为函数y=f(x)的图形。OyxC(x,y)x34、yWDy=f(x)如果自变量在定义域内任取一个数值时，对应的函数值问题只有一个，这种函数叫做单值函数，否则叫做多值函数。以后凡是没有特别说明时，函数都是指单值函数。4.函数举例例1.在直角坐标系中，由方程x2+y2=r2确定了一个函数。对于任意x(-r,r)，对应的函数值有两个：例2.函数y=2。函数的定义域为D=(-,+)。函数的值域为W={2}。函数的图形为一条平行于x轴的直线。yOxy=22函数的定义域为D=(-,+)。函数的值域为W=[0,+)。yxOy=35、x36、x,x0-x,x<0y=37、x38、=称为绝对值函数。例3.函39、数函数的定义域为D=(-,+)。函数的值域为W={-1,0,1}。Oxy21-1-2y=sgnx1,当x>00,当x=0-1,当x<0例4.函数y=sgnx=称为符号函数。例5.函数y=[
9、)xOb(-，b](-,b]={x
10、xb}，(-,+)={x
11、
12、x
13、<+}。[a,+)={x
14、ax}，以下区间称为无限区间：xOb(-，b)(-,b)={x
15、xb}，(a,+)={x
16、ax}，axO(a，+)邻域:以点a为中心的任何开区间称为点a的邻域，记作U(a)。设>0，则称区间(a-,a+)为点a的邻域，记作U(a,)，即U(a,)={x
17、a-18、19、x-a20、<}。其中点a称为邻域的中心,称为邻域的半径。去心邻域:(a,)={x21、0<22、x-a23、<}。xOa-da+d24、U(a,)，xOa-da+d(a，d)a2.常量与变量在观察自然现象或技术过程时，常会遇到各种不同的量，其中有的量在过程中不起变化始终只取同一数值，这种量叫做常量。常用字母为a，b，c，d，e，h，i，k，l，m，n等。常量与变量用什么符号不是绝对的，但应尊重数学的习惯。还有一些量在过程中是变化着的，也就是可以取不同的数值，这种量叫做变量。常用字母为x，y，z，u，v，w，s，t等。变量x所取数值的全体组成的数集M称为变量x的变域，此时x表示数集M中任何一个元素。二、函数概念1.举例圆的面积的计算公式为A=pr2，半径r可取(0,+)25、内的任意值。由落体下落距离的计算公式为s=-gt2，t可取[0,T]内的任意值。12圆内接正n边形的周长的计算公式为Sn=2nrsin-，n可取3，4，5，。pn2.函数的定义设x和y是两个变量，D是一个给定的数集。如果对于每个数xD，变量y按照一定法则总有确定的数值和它对应，则称y是x的函数，记作y=f(x)。定义中，数集D叫做这个函数的定义域，x叫做自变量，y叫做因变量。函数符号:函数y=f(x)中表示对应关系的记号f也可改用其它字母，例如j、F等。此时函数就记作y=j(x)，y=F(x)。值域：W={y26、y=f(x)，xD27、}。定义域：在数学中，有时不考虑函数的实际意义，而抽象地研究用算式表达的函数。这时约定函数的定义域就是自变量所能取的使算式有意义的一切实数值。函数值：当x取数值x0D时，与x0对应的y的数值称为函数y=f(x)在点x0处的函数值，记为f(x0)。求函数的定义域举例：解:要使函数有意义，必须x0，且x2-4³0。解不等式得28、x29、³2。函数的定义域为D={x30、31、x32、³2}，或D=(-¥,2][2,+¥)。3.函数的图形在坐标系xOy内，集合C={(x,y)33、y=f(x)，xD}所对应的图形称为函数y=f(x)的图形。OyxC(x,y)x34、yWDy=f(x)如果自变量在定义域内任取一个数值时，对应的函数值问题只有一个，这种函数叫做单值函数，否则叫做多值函数。以后凡是没有特别说明时，函数都是指单值函数。4.函数举例例1.在直角坐标系中，由方程x2+y2=r2确定了一个函数。对于任意x(-r,r)，对应的函数值有两个：例2.函数y=2。函数的定义域为D=(-,+)。函数的值域为W={2}。函数的图形为一条平行于x轴的直线。yOxy=22函数的定义域为D=(-,+)。函数的值域为W=[0,+)。yxOy=35、x36、x,x0-x,x<0y=37、x38、=称为绝对值函数。例3.函39、数函数的定义域为D=(-,+)。函数的值域为W={-1,0,1}。Oxy21-1-2y=sgnx1,当x>00,当x=0-1,当x<0例4.函数y=sgnx=称为符号函数。例5.函数y=[
18、
19、x-a
20、<}。其中点a称为邻域的中心,称为邻域的半径。去心邻域:(a,)={x
21、0<
22、x-a
23、<}。xOa-da+d
24、U(a,)，xOa-da+d(a，d)a2.常量与变量在观察自然现象或技术过程时，常会遇到各种不同的量，其中有的量在过程中不起变化始终只取同一数值，这种量叫做常量。常用字母为a，b，c，d，e，h，i，k，l，m，n等。常量与变量用什么符号不是绝对的，但应尊重数学的习惯。还有一些量在过程中是变化着的，也就是可以取不同的数值，这种量叫做变量。常用字母为x，y，z，u，v，w，s，t等。变量x所取数值的全体组成的数集M称为变量x的变域，此时x表示数集M中任何一个元素。二、函数概念1.举例圆的面积的计算公式为A=pr2，半径r可取(0,+)
25、内的任意值。由落体下落距离的计算公式为s=-gt2，t可取[0,T]内的任意值。12圆内接正n边形的周长的计算公式为Sn=2nrsin-，n可取3，4，5，。pn2.函数的定义设x和y是两个变量，D是一个给定的数集。如果对于每个数xD，变量y按照一定法则总有确定的数值和它对应，则称y是x的函数，记作y=f(x)。定义中，数集D叫做这个函数的定义域，x叫做自变量，y叫做因变量。函数符号:函数y=f(x)中表示对应关系的记号f也可改用其它字母，例如j、F等。此时函数就记作y=j(x)，y=F(x)。值域：W={y
26、y=f(x)，xD
27、}。定义域：在数学中，有时不考虑函数的实际意义，而抽象地研究用算式表达的函数。这时约定函数的定义域就是自变量所能取的使算式有意义的一切实数值。函数值：当x取数值x0D时，与x0对应的y的数值称为函数y=f(x)在点x0处的函数值，记为f(x0)。求函数的定义域举例：解:要使函数有意义，必须x0，且x2-4³0。解不等式得
28、x
29、³2。函数的定义域为D={x
30、
31、x
32、³2}，或D=(-¥,2][2,+¥)。3.函数的图形在坐标系xOy内，集合C={(x,y)
33、y=f(x)，xD}所对应的图形称为函数y=f(x)的图形。OyxC(x,y)x
34、yWDy=f(x)如果自变量在定义域内任取一个数值时，对应的函数值问题只有一个，这种函数叫做单值函数，否则叫做多值函数。以后凡是没有特别说明时，函数都是指单值函数。4.函数举例例1.在直角坐标系中，由方程x2+y2=r2确定了一个函数。对于任意x(-r,r)，对应的函数值有两个：例2.函数y=2。函数的定义域为D=(-,+)。函数的值域为W={2}。函数的图形为一条平行于x轴的直线。yOxy=22函数的定义域为D=(-,+)。函数的值域为W=[0,+)。yxOy=
35、x
36、x,x0-x,x<0y=
37、x
38、=称为绝对值函数。例3.函
39、数函数的定义域为D=(-,+)。函数的值域为W={-1,0,1}。Oxy21-1-2y=sgnx1,当x>00,当x=0-1,当x<0例4.函数y=sgnx=称为符号函数。例5.函数y=[
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