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时间:2019-06-11
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1、无穷小的性质极限的四则运算法则§1.5极限运算法则1证明设及是当xx0时的两个无穷小则010当0
2、xx0
3、1时有
4、
5、20当0
6、xx0
7、2时有
8、
9、取min{12}则当0
10、xx0
11、时有这说明也是当xx0时的无穷小
12、
13、
14、
15、
16、
17、2定理1有限个无穷小的和也是无穷小无穷小的性质仅就两个xx0时的无穷小情形证明举例:当x0时x与sinx都是无穷小所以xsinx也是当x0时的无穷小2设函数u在x0的某一去心邻域{x
18、0
19、x
20、x0
21、1}内有界即M0使当0
22、xx0
23、1时有
24、u
25、M又设是当xx0时的无穷小即0存在20使当0
26、xx0
27、2时有
28、
29、取min{12}则当0
30、xx0
31、时有
32、u
33、
34、u
35、
36、
37、M这说明u也是当xx0时的无穷小证明定理2有界函数与无穷小的乘积是无穷小定理1有限个无穷小的和也是无穷小无穷小的性质3举例:推论2有限个无穷小的乘积也是无穷小定理2有界函数与无穷小的乘积是无穷小定理1有限个无穷小的和也是无穷小无穷小的性质推论1常数与无穷小的乘积
38、是无穷小4(2)limf(x)g(x)=limf(x)limg(x)=AB推论1如果limf(x)存在而c为常数则lim[cf(x)]=climf(x)推论2如果limf(x)存在而n是正整数则lim[f(x)]n=[limf(x)]n定理3如果limf(x)=Alimg(x)=B那么极限的四则运算法则(1)lim[f(x)g(x)]=limf(x)limg(x)=AB>>>5数列极限的四则运算法则定理5如果j(x)y(x)而limj(x)=alimy(x)=b那么ab不等式定理4设有数列{xn
39、}和{yn}如果那么6求极限举例讨论提示解>>>解例2求例1求7解解根据无穷大与无穷小的关系得因为例4例3求8讨论提示当Q(x0)P(x0)0时约去分子分母的公因式(xx0)9先用x3去除分子及分母然后取极限解先用x2去除分子及分母然后取极限解:例6例5求10讨论提示解所以例711解当x时分子及分母的极限都不存在故关于商的极限的运算法则不能应用是无穷小与有界函数的乘积例812定理6(复合函数的极限运算法则)说明设函数yf[g(x)]是由函数yf(u)与函数ug(x)复合而成f[g(x)]在点x0的某去心邻
40、域内有定义若g(x)u0(xx0)f(u)A(uu0)且在x0的某去心邻域内g(x)u0则把定理中g(x)u0(xx0)换成g(x)(xx0或x)而把f(u)A(uu0)换成f(u)A(u)可类似结果>>>13定理6(复合函数的极限运算法则)设函数yf[g(x)]是由函数yf(u)与函数ug(x)复合而成f[g(x)]在点x0的某去心邻域内有定义若g(x)u0(xx0)f(u)A(uu0)且在x0的某去心邻域内g(x)u0则例9392--=xxy是由uy=与392--=xx
41、u复合而成的.解14总结1、极限的四则运算法则及其推论;2、极限求法;a.多项式与分式函数代入法求极限;b.消去零因子法求极限;c.无穷小因子分出法求极限;d.利用无穷小运算性质求极限;e.利用左右极限求分段函数极限.3、复合函数的极限运算法则15
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