高数高等教育出版社少学时版

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1、无穷小的性质极限的四则运算法则§1.5极限运算法则1证明设及是当xx0时的两个无穷小则010当0

2、xx0

3、1时有

4、

5、20当0

6、xx0

7、2时有

8、

9、取min{12}则当0

10、xx0

11、时有这说明也是当xx0时的无穷小

12、

13、

14、

15、

16、

17、2定理1有限个无穷小的和也是无穷小无穷小的性质仅就两个xx0时的无穷小情形证明举例:当x0时x与sinx都是无穷小所以xsinx也是当x0时的无穷小2设函数u在x0的某一去心邻域{x

18、0

19、x

20、x0

21、1}内有界即M0使当0

22、xx0

23、1时有

24、u

25、M又设是当xx0时的无穷小即0存在20使当0

26、xx0

27、2时有

28、

29、取min{12}则当0

30、xx0

31、时有

32、u

33、

34、u

35、

36、

37、M这说明u也是当xx0时的无穷小证明定理2有界函数与无穷小的乘积是无穷小定理1有限个无穷小的和也是无穷小无穷小的性质3举例:推论2有限个无穷小的乘积也是无穷小定理2有界函数与无穷小的乘积是无穷小定理1有限个无穷小的和也是无穷小无穷小的性质推论1常数与无穷小的乘积

38、是无穷小4(2)limf(x)g(x)=limf(x)limg(x)=AB推论1如果limf(x)存在而c为常数则lim[cf(x)]=climf(x)推论2如果limf(x)存在而n是正整数则lim[f(x)]n=[limf(x)]n定理3如果limf(x)=Alimg(x)=B那么极限的四则运算法则(1)lim[f(x)g(x)]=limf(x)limg(x)=AB>>>5数列极限的四则运算法则定理5如果j(x)y(x)而limj(x)=alimy(x)=b那么ab不等式定理4设有数列{xn

39、}和{yn}如果那么6求极限举例讨论提示解>>>解例2求例1求7解解根据无穷大与无穷小的关系得因为例4例3求8讨论提示当Q(x0)P(x0)0时约去分子分母的公因式(xx0)9先用x3去除分子及分母然后取极限解先用x2去除分子及分母然后取极限解:例6例5求10讨论提示解所以例711解当x时分子及分母的极限都不存在故关于商的极限的运算法则不能应用是无穷小与有界函数的乘积例812定理6(复合函数的极限运算法则)说明设函数yf[g(x)]是由函数yf(u)与函数ug(x)复合而成f[g(x)]在点x0的某去心邻

40、域内有定义若g(x)u0(xx0)f(u)A(uu0)且在x0的某去心邻域内g(x)u0则把定理中g(x)u0(xx0)换成g(x)(xx0或x)而把f(u)A(uu0)换成f(u)A(u)可类似结果>>>13定理6(复合函数的极限运算法则)设函数yf[g(x)]是由函数yf(u)与函数ug(x)复合而成f[g(x)]在点x0的某去心邻域内有定义若g(x)u0(xx0)f(u)A(uu0)且在x0的某去心邻域内g(x)u0则例9392--=xxy是由uy=与392--=xx

41、u复合而成的.解14总结1、极限的四则运算法则及其推论;2、极限求法;a.多项式与分式函数代入法求极限;b.消去零因子法求极限;c.无穷小因子分出法求极限;d.利用无穷小运算性质求极限;e.利用左右极限求分段函数极限.3、复合函数的极限运算法则15