江苏 严小龙 数形结合法解恒成立问题

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1、谈数形结合法解决恒成立问题盐城市一中严小龙224001关键词：数形结合法；恒成立问题；含参不等式内容摘要：使用数形结合法解含参不等式恒成立问题在高中数学问题中经常碰到在给定条件下某些结论恒成立的问题，这类问题涉及到的知识多，思想方法广，需要学生有较高的综合分析能力，有效地培养了学生思维的灵活性和创造性，因此也成为历年高中数学的一个热重点知识.所谓恒成立问题，涉及到一次函数、二次函数的性质、图象,渗透着换元、化归、数形结合、函数与方程等思想方法，解决恒成立问题的方法手段多，思路广，切入口较多，本文仅对数形结合法解决含参数不等

2、式恒成立问题谈一点看法.唯物主义认为：万物皆有形.从宏观上讲，抽象的数学问题必存在着形象的直观模型，这是因为数学问题本身就是客观世界事物的抽象.某些含参不等式恒成立问题采用数形结合法，往往会收到意想不到的积极效果，体现在过程清晰明了，论证直观有力.所以我们在解题时，可以有意识地去认识，挖掘和创造抽象的直观形象，变抽象为直观，充分运用直感，由数思形，以形辅数,数形结合往往能迅速而简捷地找到解题途径.我们首先来看一个数形结合解决向量中恒成立问题的例子.例1：向量对任意恒成立，则下面选项正确的是（）A.B.C.D.分析:该例涉及

3、到向量的一个重要公式：.即可将条件改写为：，进而转化为，经过化简整理可得，至此问题已经转化为一个一元二次函数恒成立问题，易得该一元二次函数的判别式需满足，化简为，则，则，则答案为C.y易见此解题过程繁杂，涉及ox到较多知识。不妨用图像解法试试.解：如图，虚有向线段代表取不同实属对应的向量，如右图，要保证成为的最小值，只需.下面我们谈谈一类广泛使用数形结合法解决的恒成立问题,即用数形结合法解含参不等式恒成立问题.对于解含参不等式恒成立问题，即确定恒成立不等式中参数的取值范围，需灵活应用函数与不等式的基础知识，并时常要在两者间

4、进行合理的交汇，因此此类问题属学习的重点；然而，怎样确定其取值范围呢？课本中却从未论及，但它已成为近年来命题测试中的常见题型，因此此类问题又属学习的热点；在确定恒成立不等式中参数的取值范围时，需要在函数思想的指引下，灵活地进行代数变形、综合地运用多科知识，方可取得较好的效益，因此此类问题的求解当属学习过程中的难点.数形结合法就是解决这类问题的利器.我们可以先把不等式（或经过变形后的不等式）两端的式子分别看成两个函数，且画出两函数的图象，然后通过观察两图象（特别是交点时）的位置关系，从而列出关于含参数的不等式.下面我们通过几

5、个例子来说明这个过程.例2：若不等式在内恒成立，则的取值范围为.分析：此不等式为超越不等式，直接求解难度较大.问题即在内恒成立，若在同一坐标系中画出函数与函数的图像，则题意即在区间上，函数的图像恒在函数的图像的下方.易见.由右图易知，需保证，即，则.综上，.例3：若不等式对任意恒成立，求取值范围为.分析：问题即对任意恒成立，若在同一坐标系中画出函数与函数的图像（见右图），即函数的图像恒在函数的图像上方.由图像，易知只需即可，即.例4：已知为偶函数，且在上是增函数，若时，不等式恒成立，则实数的取值范围为.分析：易知函数在上是

6、减函数，则问题即对任意恒成立，由于时，，则不等式即，即在恒成立.若在同一坐标系中画出函数的图像：如右图，由于函数过定点,则函数图像需则题意即在部分，函数图像应该处于函数图像下方（上小段粗线），函数图像上方（下小段粗线）.则图像应介乎于函数与函数之间.则.上面仅仅就几个例题谈数形结合法在解决恒成立问题中的应用.数学的深奥复杂性在于数学问题的千变万化，参数问题形式多样，方法灵活多变，技巧性较强。这就要求我们要以变应变，在解题过程中，要根据具体的题设条件，认真观察题目中不等式的结构特征，从不同的角度，不同的方向，加以分析探讨，从

7、而选择适当方法快速而准确地解出.当然除了以上的方法外，还有许多其它的方法，值得一提的是，各种方法之间并不是彼此孤立的.因此，系统地掌握参数问题的解题方法，无疑会对学生今后学习及培养学生分析问题和解决问题等方面有很大的帮助.