选修2-1第二章2.4.2抛物线的几何性质学案

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1、抛物线的几何性质学案教学过程：一、复习引入：1．抛物线定义：图形方程焦点准线平面内与一个定点F和一条定直线的距离相等的点的轨迹叫做抛物线定点F叫做抛物线的焦点，定直线叫做抛物线的准线2．抛物线的标准方程：相同点：(1)抛物线都过原点；(2)对称轴为坐标轴；(3)准线都与对称轴垂直，垂足与焦点在对称轴上关于原点对称它们到原点的距离都等于一次项系数绝对值的，即不同点：(1)图形关于轴对称时，为一次项，为二次项，方程右端为、左端为；图形关于Y轴对称时，为二次项，为一次项，方程右端为，左端为（2）开口方向在轴（或轴）正向时，焦点在轴（或轴）的正半轴上，方程右端取正号；开口在轴（或

2、轴）负向时，焦点在轴（或轴）负半轴时，方程右端取负号二、讲解新课：抛物线的几何性质1．范围因为p＞0，由方程可知，这条抛物线上的点M的坐标(x，y)满足不等式x≥0，所以这条抛物线在y轴的右侧；当x的值增大时，

3、y

4、也增大，这说明抛物线向右上方和右下方无限延伸．2．对称性以－y代y，方程不变，所以这条抛物线关于x轴对称，我们把抛物线的对称轴叫做抛物线的轴．3．顶点抛物线和它的轴的交点叫做抛物线的顶点．在方程中，当y=0时，x=0，因此抛物线的顶点就是坐标原点．4．离心率8抛物线上的点M与焦点的距离和它到准线的距离的比，叫做抛物线的离心率，用e表示．由抛物线的定义可知，e=

5、1．对于其它几种形式的方程，列表如下：标准方程图形顶点对称轴焦点准线离心率轴轴轴轴注意强调的几何意义：是焦点到准线的距离抛物线不是双曲线的一支，抛物线不存在渐近线通过图形的分析找出双曲线与抛物线上的点的性质差异，当抛物线上的点趋向于无穷远时，抛物线在这一点的切线斜率接近于对称轴所在直线的斜率，也就是说接近于和对称轴所在直线平行，而双曲线上的点趋向于无穷远时，它的切线斜率接近于其渐近线的斜率三、讲解范例：例1已知抛物线关于x轴为对称，它的顶点在坐标原点，并且经过点，求它的标准方程，并用描点法画出图形．8练习：根据下列条件，求抛物线的方程，（1）顶点在原点，对称轴是x轴，顶点

6、到焦点的距离等于8．（2）顶点在原点，焦点在y轴上，且过P（4，2）点．（3）顶点在原点，焦点在y轴上，其上点P（m，－3）到焦点距离为5．例2探照灯反射镜的轴截面是抛物线的一部分，光源位于抛物线的焦点处，已知灯的圆的直径60cm，灯深为40cm，求抛物线的标准方程和焦点位置．例3过抛物线的焦点F任作一条直线m，交这抛物线于A、B两点，求证：以AB为直径的圆和这抛物线的准线相切．例4.斜率为1的直线经过抛物线y2=4x的焦点，与抛物线交于两点A、B，求线段AB的长.（思考用不同方法求解）8变式训练：过抛物线的焦点作直线，交抛物线于,两点，若，求。点评：由以上例2以及变式训

7、练可总结出焦点弦弦长：例5　过抛物线=2px(p＞0)的焦点F的一条直线与这抛物线相交于A、B两点，且A(，)、B()(图2-34)．例6:已知的一个顶点为抛物线=2x的顶点O,A、B两点都在抛物线上，且=90（1）证明直线AB必过一定点；（2）求的面积的最小值。8五、小结：抛物线的离心率、焦点、顶点、对称轴、准线、中心等抛物线的几何性质同步练习（一）一.选择题1、抛物线y=ax2的准线方程是y=2,则a的值为（）A、B、C、8D、-82、点在原点，对称轴为y轴，顶点到准线的距离为4的抛物线方程是(　　)A．x2＝16y　　　　B．x2＝8yC．x2＝±8yD．x2＝±1

8、6y3、于抛物线y2=4x上任意一点Q,点P（a,0）都满足

9、PQ

10、

11、a

12、,则a的取值范围是（）A、B、C、D、4、物线y=4x2上的一点M到焦点的距离为1，则点M的纵坐标是（）A、B、C、D、05、抛物线y2=2px上，横坐标为4的点到焦点的距离为5，则P的值为（）A、B、C、2D、46、知为抛物线上一动点，为抛物线的焦点，定点，则最小值为（）（A）3（B）4（C）5（D）67、曲线的离心率为2，有一个焦点与抛物线的焦点重合，则mn的值为（　　）A．B．C．D．二.填空题8、若抛物线y2＝2px(p＞0)上一点到准线和抛物线的对称轴距离分别为10和6，则该点的横坐标是_

13、_______．9、抛物线y2＝4x与直线2x＋y－4＝0交于两点A与B，F是抛物线的焦点，则

14、FA

15、＋

16、FB

17、＝________.10、过抛物线焦点F的直线与抛物线交于A、B两点，若A、B在准线上的射影是A2，B2，则∠A2FB2等于　　　　　　　11、边长为1的等边三角形AOB，O为原点，AB⊥x轴，则以O为顶点，且过A、B的抛物线方程是________．8三.解答题12、线顶点在原点，以坐标轴为对称轴，过焦点且与y轴垂直的弦长为16，求抛物线方程．13、点在直线3x4y12=0上的抛物线的标准方程．14、抛物线型拱桥，当