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《第二章2.4.2抛物线的几何性质》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在行业资料-天天文库。
1、抛物线的几何性质07.01.05前面我们已学过椭圆与双曲线的几何性质,它们都是通过标准方程的形式研究的,现在请大家想想抛物线的标准方程、图形、焦点及准线是什么?一、复习回顾：图形方程焦点准线lFyxOlFyxOlFyxOlFyxOy2=2px（p>0）y2=-2px（p>0）x2=2py（p>0）x2=-2py（p>0）练习：填空（顶点在原点，焦点在坐标轴上）方程焦点准线开口方向开口向右开口向左开口向上开口向下P(x,y)一、抛物线的几何性质抛物线在y轴的右侧，当x的值增大时，︱y︱也增大，这说明抛物线向右上方和右下方无限延伸。
2、1、范围由抛物线y2=2px（p>0）而所以抛物线的范围为关于x轴对称由于点也满足，故抛物线(p>0)关于x轴对称.y2=2pxy2=2px2、对称性P(x,y)定义：抛物线和它的轴的交点称为抛物线的顶点。P(x,y)由y2=2px（p>0）当y=0时,x=0,因此抛物线的顶点就是坐标原点（0，0）。注:这与椭圆有四个顶点,双曲线有两个顶点不同。３、顶点4、离心率P(x,y)抛物线上的点与焦点的距离和它到准线的距离之比，叫做抛物线的离心率，由抛物线的定义，可知e=1。请自己推导其余三种标准方程抛物线的几何性质。5、开口方向P(x
3、,y)抛物线y2=2px（p>0）的开口方向向右。+X，x轴正半轴，向右-X，x轴负半轴，向左+y，y轴正半轴，向上-y，y轴负半轴，向下特点：1.抛物线只位于半个坐标平面内,虽然它可以无限延伸,但它没有渐近线;2.抛物线只有一条对称轴,没有对称中心;3.抛物线只有一个顶点、一个焦点、一条准线;4.抛物线的离心率是确定的,为1;思考：抛物线标准方程中的p对抛物线开口的影响.P(x,y)（二）归纳：抛物线的几何性质图形方程焦点准线范围顶点对称轴elFyxOlFyxOlFyxOlFyxOy2=2px（p>0）y2=-2px（p>0）
4、x2=2py（p>0）x2=-2py（p>0）x≥0y∈Rx≤0y∈Ry≥0x∈Ry≤0x∈R(0,0)x轴y轴1例１：已知抛物线关于x轴对称，它的顶点在坐标原点，并且经过点M（２， ），求它的标准方程，并用描点法画出图形。因为抛物线关于x轴对称，它的顶点在坐标原点，并且经过点M（２， ），解：所以设方程为：又因为点M在抛物线上：所以：因此所求抛物线标准方程为：（三）、例题讲解：作图：(1)列表（在第一象限内列表）x01234…y…(2)描点：(3)连线：11xyO变式题１：求顶点在坐标原点，对称轴为坐标轴，并且经过点M（２
5、， ），抛物线的标准方程。练习１：顶点在坐标原点，焦点在y轴上，并且经过点M（4,２)的抛物线的标准方程为练习2：顶点在坐标原点，对称轴是X轴，点M（-5,)到焦点距离为6,则抛物线的标准方程为变式题2：已抛物线C的顶点在坐标原点，焦点F在X轴的正半轴上,若抛物线上一动点P到A(2,1/3),F两点的距离之和最小值为4,求抛物线的标准方程例2、探照灯反射镜的轴截面是抛物线的一部分，光源位于抛物线的焦点处，已知灯口圆的直径为60cm,灯深40cm，求抛物线的标准方程及焦点的位置。FyxO解：如图所示，在探照灯的轴截面所在平面建立
6、直角坐标系，使反光镜的顶点与原点重合，x轴垂直于灯口直径。AB设抛物线的标准方程是：由已知条件可得点A的坐标是（40，30），代入方程可得所求的标准方程为焦点坐标为补充（1）通径：通过焦点且垂直对称轴的直线，与抛物线相交于两点，连接这两点的线段叫做抛物线的通径。
7、PF
8、=x0+p/2xOyFP通径的长度：2PP越大,开口越开阔（2）焦半径：连接抛物线任意一点与焦点的线段叫做抛物线的焦半径。焦半径公式：（标准方程中2p的几何意义）利用抛物线的顶点、通径的两个端点可较准确画出反映抛物线基本特征的草图。已知抛物线的顶点在原点，对称轴为
9、x轴，焦点在直线3x-4y-12=0上，那么抛物线通径长是.课堂练习：例3.斜率为1的直线l经过抛物线y2=4x的焦点,且与抛物线相交于A，B两点，求线段AB的长。（三）、例题讲解：结论：直线l经过抛物线y2=2px的焦点,且与抛物线相交于A，B两点，则线段AB的长
10、AB
11、=x1+x2+P.练习3：已知过抛物线y2=9x的焦点的弦长为12,则弦所在直线的倾斜角是练习4：若直线l经过抛物线y2=4x的焦点,与抛物线相交于A，B两点,且线段AB的中点的横坐标为2,求线段AB的长.例4：已知抛物线的方程为y2=4x,直线l经过点P(-
12、2,1),斜率为k.当k为何值时,直线与抛物线:只有一个公共点;有两个公共点:没有公共点.（三）、例题讲解：练习5：已知直线y=kx+2与抛物线y2=8x恰有一个公共点,则实数k的值为例5：已知过点Q(4,1)作抛物线y2=8x的弦AB,恰被Q平分,求弦AB所在
