方程类数学模型

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1、常微分方程（组）Cauchy问题—竞争排斥原理１问题的提出考虑在同一个小生态环境中，生存着两种在习性、食物和生活繁殖方式相似的生物，是这两种生物在该生态环境中最大可能的存活个数，，分别是两种生物在时刻的数量，那么这两种生物在该生态环境中构成了一个系统，该系统满足下面的数学模型：　　　　　（１）其中是生物占据生物的位置的数量，是生物占据生物的位置的数量，且有，，这样模型（１）成为　　　　（２）２　系统的平衡状态该系统的平衡状态是下面方程组的根:　　　　　（３）解得如下；，当时，系统的平衡状态还有。３系统的一次近似系统的Jacob

2、ian矩阵是（４）利用函数的Taylor展式　　　（５）其中，可得到在点附近的一次近似系统为：　　　　　　　　　　　　　（６）b、在点附近，令，，，则一次近似系统为：　　　　　　（７）c、　在点附近，令，，，则一次近似系统为：　　　　　（８）d、在点附近，令，，，、则一次近似系统为：　　　　　　　　（９）模型（６）—（９）是线性微分方程组，是对系统（２）做近似描述（取一次项）的线性系统。４　非线性系统与其一次近似线性系统在平衡　　　　　　状态渐近性质方面的关系设是非线性系统　　　　　　　　（1０）的孤立平衡点（状态），系统（９

3、）是非线性系统（1０）在处的一次近似线性系统，其中，则１）　当时，是非线性系统（1０）局部渐近稳定的平衡点（状态）（LocallyAsymptoticalStableEquilibriumState）；２）当存在时，是非线性系统（1０）局部不稳定的平衡点（状态）。在这里，局部的含意是指存在的邻域，对属于该邻域内的任何初始非平衡状态，都有　　　　　　　　（1１）５　非线性系统（２）平衡状态的渐近性质及　　　　　　其初步的实验与分析１）由于在点附近非线性系统（２）的一次近似系统由模型（６）给出，其中，根据前面的结论，平衡点是非线性

4、系统（２）的不稳定的平衡点，这一事实可由下面的实验结果明显地看出：%k1=1,k2=1,a1=0.1,a2=0.1,N1=100,N2=150ODEfun201.m:ODESolve201.m:图1%k1=1,k2=1.5,a1=0.1,a2=0.1,N1=100,N2=150ODESolve202.m:图2ODESolve203.m:图3图4b、在点附近，令，，，则一次近似系统为：　　　　　　（1２）当时，是局部渐近稳定的平衡点，当时，是不稳定的平衡点：ODESolve204.m:Ａ．的情形图5Ｂ、的情形图6c、　在点附近，

5、令，，，则一次近似系统为：　　　　（1３）当时，是局部渐近稳定的平衡点，当时，是不稳定的平衡点。d、当时，在点附近，令，，，、则一次近似系统为：　　　　（1４）根据问题的实际意义，平衡点应位于平面的第一象限（不包含原点），即同号，容易验证，二阶线性系统（７）的平衡点是渐近稳定的充分必要条件是：１、；２、条件１、２等价于条件及，这意味着平衡点和都是不稳定的。ODESolve205.m:图7图8