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1、天津理工大学中环信息学院王武第二章预测类数学模型本章重点：预测类数学模型的基本思想，掌握基本的数据拟合方法—多项式数据拟合，灰色预测模型等。学习要求1．能用基本的数学模型方法解决一些简单的预测类问题。2．掌握基本拟合方法的原理与优缺点。2.1最小二乘法的基本原理和多项式拟合2.1.1最小二乘法的基本原理从整体上考虑近似函数同所给数据点(i=0,1,…,m)误差(i=0,1,…,m)的大小，常用的方法有以下三种：一是误差(i=0,1,…,m)绝对值的最大值，即误差向量的∞—范数；二是误差绝对值的和，即误差向量r的1—范数；三是误差平方和的算术平方根，即误差向
2、量r的2—范数；前两种方法简单、自然，但不便于微分运算，后一种方法相当于考虑2—范数的平方，因此在曲线拟合中常采用误差平方和来度量误差(i=0，1，…，m)的整体大小。数据拟合的具体作法是：对给定数据(i=0,1,…，m)，在取定的函数类中,求,使误差(i=0,1,…,m)的平方和最小，即=从几何意义上讲，就是寻求与给定点(i=0,1,…,m)的距离平方和为最小的曲线（图6-1）。函数称为拟合函数或最小二乘解，求拟合函数的方法称为曲线拟合的最小二乘法。在曲线拟合中，函数类可有不同的选取方法.14天津理工大学中环信息学院王武2—12.1.2多项式拟合所谓
3、多项式数据拟合，主要是采用多项式函数形式来进行拟合、逼近数据所呈现出来的趋势。多项式的系数可以由最小二乘法计算出来。假设给定数据点(i=0,1,…,m)，为所有次数不超过的多项式构成的函数类，现求一,使得(1)当拟合函数为多项式时，称为多项式拟合，满足式（1）的称为最小二乘拟合多项式。特别地，当n=1时，称为线性拟合或直线拟合。显然为的多元函数，因此上述问题即为求的极值问题。由多元函数求极值的必要条件，得(2)即(3)（3）是关于的线性方程组，用矩阵表示为14天津理工大学中环信息学院王武(4)式（3）或式（4）称为正规方程组或法方程组。可以证明，方程组
4、（4）的系数矩阵是一个对称正定矩阵，故存在唯一解。从式（4）中解出(k=0,1,…，n)，从而可得多项式(5)可以证明，式（5）中的满足式（1），即为所求的拟合多项式。我们把称为最小二乘拟合多项式的平方误差，记作由式(2)可得(6)多项式拟合的一般方法可归纳为以下几步：(1)由已知数据画出函数粗略的图形——散点图，确定拟合多项式的次数n；(2)列表计算和；(3)写出正规方程组，求出；(4)写出拟合多项式。在实际应用中，或；当时所得的拟合多项式就是拉格朗日或牛顿插值多项式。*2.1.3最小二乘拟合多项式的存在唯一性定理1设节点互异，则法方程
5、组（4）的解存在唯一。14天津理工大学中环信息学院王武定理2设是正规方程组（4）的解，则是满足式（1）的最小二乘拟合多项式。*2.1.4多项式拟合中克服正规方程组的病态在多项式拟合中，当拟合多项式的次数较高时，其正规方程组往往是病态的。而且：①正规方程组系数矩阵的阶数越高，病态越严重；②拟合节点分布的区间偏离原点越远，病态越严重；③(i=0,1,…，m)的数量级相差越大，病态越严重。为了克服以上缺点，一般采用以下措施：①尽量少作高次拟合多项式，而作不同的分段低次拟合；②不使用原始节点作拟合，将节点分布区间作平移，使新的节点关于原点对称，可大大
6、降低正规方程组的条件数，从而减低病态程度。平移公式为：(9)③对平移后的节点(i=0,1,…，m),再作压缩或扩张处理：（10）其中,（r是拟合次数）（11）经过这样调整可以使的数量级不太大也不太小，特别对于等距节点，作式（10）和式（11）两项变换后，其正规方程组的系数矩阵设为A，则对1～4次多项式拟合，条件数都不太大，都可以得到满意的结果。变换后的条件数上限表如下：拟合次数1234=1<9.9<50.3<435 14天津理工大学中环信息学院王武④在实际应用中还可以利用正交多项式求拟合多项式。一种方法是构造离散正交多项式；另一种方法是利用切比
7、雪夫节点求出函数值后再使用正交多项式。这两种方法都使正规方程组的系数矩阵为对角矩阵，从而避免了正规方程组的病态。例1：世界人口预测问题人类社会进入20世纪以来，在科学技术和生产力飞速发展的同时，世界人口也以空前的规模增长，统计数据如表3.1所示。表3.1世界人口统计数据年份1625183019301960197419871999人口/亿5102030405060可以看出，人口每增长10亿的时间由100年缩短为十几年。人口增长使人类赖以生存的地球环境急剧恶化，人们幡然醒悟，开始研究人类和自然的关系、人口数量的变化规律，以及如何进行人口控制的问题。根据上表，预测2
8、000年以后的世界人口发展趋势。解题思
