热传导方程的数学模型1

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1、热传导方程的模型一块热的物体，如果体内每一点的温度不全一样，则在温度较高的点处的热能就要向温度较低的点处流动，称为热传导。由于热能的传导过程总是表现为温度随时间和点的位置的变化，故问题归结为求物体内温度的分布。在三维直角坐标系下，假设在时刻点的温度为，考虑一个区域的温度，为此，在物体中任取一闭曲面，它所包围的区域记作（如图），为曲面的法向（从内指向外）。由热传学中的Fourier实验定律可知：物体在无穷小时间段内流过一个无穷小面积的热量与时间段、曲面面积，以及物体温度沿法线方向的方向导数三者成正比,即其中称为

2、物体的热传导系数()，当物体均匀且各向同性时，为常数。式中负号出现是由于热量的流向与温度梯度的正向相反。从时刻到时刻，通过曲面流入区域的全部热量为流入的热量使内温度发生了变化，在时间间隔内区域内各点温度变化到，则在时间间隔内内温度升高所需的热量为：其中为物体的比热，为物体的密度，对均匀且各向同性的物体来说，它们都是常数。由于热量守恒，故，即。交换积分次序,得由于时间间隔及区域是任意取的，并且被积函数是连续的，得到如果物体是均匀的,即为常数，得到方程：其中。该方程称为三维的热传导方程。