热传导方程的差分格式

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1、一维抛物方程的初边值问题分别用向前差分格式、向后差分格式、六点对称格式，求解下列问题:du~did2u00在t=0.05,0.1和0.2时刻的数值解，并与解析解u(x,t)=护sin(^)进行比较。1差分格式形式设空I'可步长h=(N,时I'可步长r>0,T=Mt,网比r=T/h2.(1)向前差分格式该问题是第二类初边值问题(混合问题)，我们要求出所需次数的偏微商的函数如,满足方碍M器,0

2、以0,/)=心)=0,/>0o已知sin/rx在相应区域光滑，并且在x=0J与边值相容，使问题有唯一充分光滑的解。取空间步长h=IN,和时间步长t=T/M,其中N,M都是正整数。用两族平行直线x=Xj=jh(j=0,,・・・，N)和t=tk=lcr(k"」,•••，M)将矩形域G={00}分割成矩形网络，网络格节点为W以表示网格内点集合,即位于矩形G的网点集合；Gh表示闭矩形石的网格集合；rh=Gh-Gh是网格界点的集合。向前差分格式，即fi=/U,)，u(j=(pj=(p(Xj),Wq=U；=0其中,)=1,2,・・・

3、，N_1,E=1,2,・・・，M_1・以尸=M/胪表示网比。(1)式可改写成如下:R+1Wy+I=rukj+i+(1-2厂)iij+rukH+Tfj此格式为显格式。其矩阵表达式如下：

4、种差分格式被称为隐格式。其矩阵表达式如下：（3）六点对称格式六点差分格式:%—""T~2喑-2咁+屹;"+厂2与+屹打jh2h2心=

5、4-2广丿〔才丿kr/21一2乙kUN)2利用MATLAB求解问题的过程对每种差分格式依次取N=40・，el/1600,r=l/3200,r=l/6400,用MATLAB求解并图形比较数值解与精确解，用表格列岀不同剖分时的厶彳误差。向前差分格式：t=0.05:r=l/1600：x10X102131iIiIIIIiI•数值解精确解2•♦♦-♦♦-■■・■•♦♦•••••01♦♦♦■••-1-.•-♦♦-2--♦♦••••二；IIIIIIIII"00.10.20.30.40.50.60.70.80.91r=1/3200：0.70.60.50.

6、40.30.2•数值解精确解0彳I1[III]I]['00.10.20.30.40.50.60.70.80.91r=1/6400：0.1:r=1/3600：II•数值解精确解0.50.60.70.80.91x10592.5

7、2-1.5-1・0.5-♦0--0.5-.--1.5-♦-2-•♦♦t■25111」00.10.20.30.4r=1/3200:0.30.250.20.0521%IJ.20.30.40.50.60.70.80.913注t=Q.27=1/1600：•数值解精确解-0.350.15数值解精确解0~-1-2•JIIIIIII

8、II'00.10.20.30.40.50.60.70.80.91r=1/6400：向后差分格式:t—0.05:"1/1600:r=1/3200r=0.1:21/1600:0.40.350.30.250.20.150.10.05000.10.20.30.40.50.60.70.80.910.30.250.20.05%0.20.30.40.50.6070.80.910.350.15数值解精确解t=0.2"1/1600:r=1/3200六点差分格式：t=0.05:7=1/1600:r=1/64000.1:“1/1600:0.30.250.20.

9、05%•数值解精确解0.20.30.40.50.6070.80.90.350.15r=1/3200r=0.221/1600:•数值解精确解0.140.120.10.080.060.040.02