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时间:2018-01-18
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1、一维热传导方程的前向、紧差分格式中南林业科技大学本科课程论文学 院:理学院专业年级:09信息与计算科学一班课程:偏微分方程数值解法论文题目:一维热传导方程的前向Euler和紧差分格式指导教师:陈红斌2012年7月一维热传导方程的前向、紧差分格式学生姓名:唐黎学号:20093936分工:程序编写,数值例子学生姓名:何雄飞学号:20093925分工:格式建立,资料收集学生姓名:汪霄学号:20093938分工:文档编辑,资料整理学生姓名:毛博伟学号:20093931分工:公式编辑,查找资料学生姓名:倪新东学号:20093932分工:数据分析,查找资料学生姓名:何凯明学号
2、:20093924分工:数据分析,查找资料一维热传导方程的前向、紧差分格式目录1引言..............................................12物理背景.............................................13网格剖分..........................................24.1.1向前格式建立.............................24.1.2差分格式的求解...............................44.1.3收敛性与稳定性
3、...................................44.1.4数值例子......................................74.2.1紧差分格式建立................................104.2.2差分格式求解..................................124.2.3数值例子......................................13总结..................................................17参考文献.
4、..........................................18附录...............................................19一维热传导方程的前向、紧差分格式一维热传导方程的前向、紧差分格式1引言本文考虑的一维非齐次热传导方程的定解问题:其中为正常数,为已知函数,目前常用的求解热传导方程的差分格式有前向Euler差分格式、向后Euler差分格式、Crank-Nicolson格式、Richardson格式.本文将给出前向Euler格式和紧差分格式,并给出其截断误差和数值例子.2物理背景热传导是由于物体内
5、部温度分布不均匀,热量要从物体内温度较高的点流向温度较低的点处.以函数表示物体在时刻,处的温度,并假设关于具有二阶连续偏导数,关于具有一阶连续偏导数.是物体在处的热传导系数,取正值.设物体的比热容为,密度为.根据热传导定律,热量守恒定律以及公式得如果物体是均匀的,此时以及均为常数.令,上式方程化为若考虑物体内有热源,其热源密度函数为,则有热源的热传导方程为其中.第21页共25页一维热传导方程的前向、紧差分格式3网格剖分取空间步长和时间步长,其中都是正整数.用两族平行直线和将矩形域分割成矩形网格,网格节点为.记.以表示网格内点集合,即位于开矩形的网点集合;表示所有位
6、于闭矩形的网点集合;是网格界点集合.引进如下记号:,,,,分别称为无穷范式(一直范式)2范数(范数,平均范数),差商的2范数(差商的范式)和范式.4.1.1向前格式建立定义上的网格函数其中在结点处考虑微分方程(3.1-1),有(3.2)将第21页共25页一维热传导方程的前向、紧差分格式和代入(3.2),得到(3.3-1)注意到初边值条件(3.1-2)和(3.1-3),有(3.3-2)(3.3-3)在(3.3-1)~(3.3-3)中略去小量项(3.4)并用代替,得到如下差分格式(3.5-1)(3.5-2)(3.5-3)称为差分格式的局部截断误差。记(3.6-1)则有
7、(3.6-2)第21页共25页一维热传导方程的前向、紧差分格式4.1.2差分格式的求解记,称为步长比。差分格式(3.5-1)可写为上式表明第k+1层上的值由第k层上的值显示表示出来。若已知第k层的值,则由上式就可直接得到第k+1层上的值。有时也称(3.5-1)为古典显格式。可把古典显格式写成矩阵形式4.1.3收敛性与稳定性收敛性设为定解问题(3.1-1)~(3.1-3)的解,为差分格式()()的解,则当时,有,其中由(3.6-1)定义证明记将(3.3-1)~(3.6-1)分别于(3.5-1)~(3.5-3)相减,得到误差方程当时,有第21页共25页一维热传导方程的
8、前向、紧差
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