中考数学难题荟萃

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1、23.（本题满分14分）在正方形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，点P在线段BC上（不含点B），∠BPE＝∠ACB，PE交BO于点E，过点B作BF⊥PE，垂足为F，交AC于点G．（1）当点P与点C重合时（如图①）．求证：△BOG≌△POE；（4分）（2）通过观察、测量、猜想：=，并结合图②证明你的猜想；（5分）（3）把正方形ABCD改为菱形，其他条件不变（如图③），若∠ACB=，求的值．（用含的式子表示）（5分）（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，P与C重合,∴OB=OP，∠BOC=∠BOG=90°．……

2、2分∵PF⊥BG，∠PFB=90°，∴∠GBO=90°—∠BGO，∠EPO=90°—∠BGO，∴∠GBO=∠EPO．……3分∴△BOG≌△POE．……4分（2）．……5分证明：如图②，过P作PM//AC交BG于M，交BO于N，∴∠PNE=∠BOC=90°，∠BPN=∠OCB．∵∠OBC=∠OCB=，∴∠NBP=∠NPB．∴NB=NP．∵∠MBN=90°—∠BMN，∠NPE=90°—∠BMN，∴∠MBN=∠NPE．……6分∴△BMN≌△PEN．……7分∴BM=PE．∵∠BPE=∠ACB，∠BPN=∠ACB，∴∠B

3、PF=∠MPF．∵PF⊥BM，∴∠BFP=∠MFP=.又PF=PF，∴△BPF≌△MPF．……8分∴BF=MF．即BF=BM．∴BF=PE．即．……9分（3）解法一：如图③，过P作PM//AC交BG于点M，交BO于点N，∴∠BPN=∠ACB=，∠PNE=∠BOC=90°.……10分由（2）同理可得BF=BM，∠MBN=∠EPN．……11分∵∠BNM=∠PNE=90°，∴△BMN∽△PEN．……12分∴．……13分在△BNP中，，∴．即．∴．……14分解法二：如图③，过P作PM//AC交BG于点M，交BO于点N，

4、∴BO⊥PM，∠BPN=∠ACB=.……10分∵∠BPE=∠ACB=，PF⊥BM，∴∠EPN=.∠MBN=∠EPN=∠BPE=.设，在△PFB中，，……11分∵PF=PE+EF=，∴……12分在△BFE中，，∴.∴...……13分∴.即.……14分解法三：如图③，过P作PM//AC交BG于点M，交BO于点N，∴∠BNP=∠BOC=90°.∴∠EPN+∠NEP=90°.又∵BF⊥PE，∴∠FBE+∠BEF=90°.∵∠BEF=∠NEP，∴∠FBE=∠EPN.……10分∵PN//AC，∴∠BPN=∠BCA=.又∵∠

5、BPE=∠ACB=，∴∠NPE=∠BPE=.∴∠FBE=∠BPE=∠EPN=.∵，∴.……11分∵，∴.……12分∵，∴.……13分∴.∴.∴.……14分23．（2012•资阳）（1）如图（1），正方形AEGH的顶点E、H在正方形ABCD的边上，直接写出HD：GC：EB的结果（不必写计算过程）；（2）将图（1）中的正方形AEGH绕点A旋转一定角度，如图（2），求HD：GC：EB；（3）把图（2）中的正方形都换成矩形，如图（3），且已知DA：AB=HA：AE=m：n，此时HD：GC：EB的值与（2）小题的结果相比

6、有变化吗？如果有变化，直接写出变化后的结果（不必写计算过程）．考点：相似三角形的判定与性质；全等三角形的判定与性质；勾股定理；等腰直角三角形；正方形的性质。分析：（1）首先连接AG，由正方形AEGH的顶点E、H在正方形ABCD的边上，易证得∠GAE=∠CAB=45°，AE=AH，AB=AD，即A，G，C共线，继而可得HD=BE，GC=BE，即可求得HD：GC：EB的值；（2）连接AG、AC，由△ADC和△AHG都是等腰直角三角形，易证得△DAH∽△CAG与△DAH≌△BAE，利用相似三角形的对应边成比例与正方形

7、的性质，即可求得HD：GC：EB的值；（3）由矩形AEGH的顶点E、H在矩形ABCD的边上，由DA：AB=HA：AE=m：n，易证得△ADC∽△AHG，△DAH∽△CAG，△ADH∽△ABE，利用相似三角形的对应边成比例与勾股定理即可求得HD：GC：EB的值．解答：解：（1）连接AG，∵正方形AEGH的顶点E、H在正方形ABCD的边上，∴∠GAE=∠CAB=45°，AE=AH，AB=AD，∴A，G，C共线，AB﹣AE=AD﹣AH，∴HD=BE，∵AG==AE，AC==AB，∴GC=AC﹣AG=AB﹣AE=（AB

8、﹣AE）=BE，∴HD：GC：EB=1：：1…（3分）（2）连接AG、AC，∵△ADC和△AHG都是等腰直角三角形，∴AD：AC=AH：AG=1：，∠DAC=∠HAG=45°，∴∠DAH=∠CAG，…（4分）∴△DAH∽△CAG，∴HD：GC=AD：AC=1：，…（5分）∵∠DAB=∠HAE=90°，∴∠DAH=∠BAE，在△DAH和△BAE中，，∴△DAH≌△BAE（SAS），∴HD