数学 难题 中考

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1、一有理数1（2008•泰州）让我们轻松一下，做一个数字游戏：第一步：取一个自然数n1=5，计算nl2+1，将所得结果记为a1；第二步：算出a1的各位数字之和得n2，计算n22+1，结果为a2；第三步：算出a2的各位数字之和得n3，再计算n32+1，结果为a3；…依此类推，则a2008=26．考点：规律型：数字的变化类．专题：规律型．分析：根据题意，进行计算a1=26；因为2+6=8，所以a2=65；因为6+5=11，所以a3=122；因为1+2+2=5，所以a4=a1．发现：每3个一循环，则2008÷3=669…1，则a2

2、008=a1=26．解答：解：∵26，65，122每3个数一循环，2008÷3=669…1，∴a2008=a1=26．点评：此类题主要应根据要求进行正确计算，发现几个一循环，找到规律，再进行计算．二勾股定理与平方根2试题直角三角形两直角边长为3和4，三角形内一点到各边距离相等，那么这个距离为1考点：勾股定理；三角形的内切圆与内心．分析：连接OA，OB，OC利用小三角形的面积和等于大三角形的面积即可解答．解答：解：连接OA，OB，OC，则点O到三边的距离就是△AOC，△BOC，△AOB的高线，设到三边的距离是x，则三个三角形

3、的面积的和是：12AC•x+12BC•x+12AB•x=12AC•BC，就可以得到x=1．3清朝康熙皇帝是我国历史上对数学很有兴趣的帝王．近日，西安发现了他的数学专著，其中有一文《积求勾股法》，它对“三边长为3、4、5的整数倍的直角三角形，已知面积求边长”这一问题提出了解法：“若所设者为积数（面积），以积率六除之，平方开之得数，再以勾股弦各率乘之，即得勾股弦之数”．用现在的数学语言表述是：“若直角三角形的三边长分别为3、4、5的整数倍，设其面积为S，则第一步：S6=m；第二步：m=k；第三步：分别用3、4、5乘以k，得三边

4、长”．（1）当面积S等于150时，请用康熙的“积求勾股法”求出这个直角三角形的三边长；（2）你能证明“积求勾股法”的正确性吗请写出证明过程．考点：勾股定理；勾股定理的证明．专题：阅读型．分析：先由题中所给的条件找出字母所代表的关系，然后套用公式解题．解答：解：（1）当S=150时，k=m=S6=1506=25=5，所以三边长分别为：3×5=15，4×5=20，5×5=25；（2）证明：三边为3、4、5的整数倍，设为k倍，则三边为3k，4k，5k，而三角形为直角三角形且3k、4k为直角边．其面积S=12（3k）•（4k）=6

5、k2，∴k2=S6，k=S6（取正值），即：将面积除以6，然后开方，即可得到倍数．点评：此题信息量较大，解答此类题目的关键是要找出所给条件，然后解答．三整式4(2011大庆）已知；a、b、c是△ABC的三边的长，且满足a3+ab2+bc2=ac2+a2b+b3，试判断△ABC的形状．考点：因式分解的应用．分析：利用分组分解法提公因式法对等式进行变形，再进一步判定三角形的形状．解答：解：∵a3+ab2+bc2=ac2+a2b+b3，∴（a3-a2b）+（ab2-b3）+（bc2-ac2）=0，a2（a-b）+b2（a-b）-

6、c2（a-b）=0，（a-b）（a2+b2-c2）=0，∴a=b或a2+b2=c2，则三角形是等腰三角形或直角三角形．点评：此题考查了因式分解在图形中的应用，要能够熟练运用分组分解法和提公因式法进行因式分解．5（2009台州）若将代数式中的任意两个字母交换，代数式不变，则称这个代数式为完全对称式，如a+b+c就是完全对称式．下列三个代数式：①（a-b）2；②ab+bc+ca；③a2b+b2c+c2a．其中是完全对称式的是（　　）A．①②B．①③C．②③D．①②③考点：完全平方公式．分析：在正确理解完全对称式的基础上，逐一进

7、行判断，即可得出结论．解答：解：根据信息中的内容知，只要任意两个字母交换，代数式不变，就是完全对称式，则：①（a-b）2=（b-a）2；是完全对对称式．②将代数式ab+bc+ca中的任意两个字母交换，代数式不变，故ab+bc+ca是完全对称式．③将a与b交换，a2b+b2c+c2a变为ab2+a2c+bc2．故a2b+b2c+c2a不是完全对称式．故选A．点评：本题是信息题，考查了学生读题做题的能力．正确理解所给信息是解题的关键．6已知1+x+x2+x3+x4=0，求1+x+x2+x3+…+x2009的值．00考点：因式分

8、解的应用．分析：1+x+x2+x3+…+x2009可以整理为（1+x+x2+x3+x4）+（x5+x6+…+x9）+…+（x2005+x2006+…+x2009），经过两次提公因式可得（1+x+x2+x3+x4）（1+x5+x10+…+x2005）．解答：解：1+x+x2+x3+…+x2009=（1+x