2011数列(三)

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1、有关隔项问题;（05江西卷）已知数列{an}的前n项和Sn满足Sn－Sn－2=3求数列{an}的通项公式.解：方法一：先考虑偶数项有：………同理考虑奇数项有：………综合可得方法二：因为两边同乘以，可得：令所以………又∴∴07湖南文设是数列（）的前项和，，且，，．（I）证明：数列（）是常数数列；（II）试找出一个奇数，使以18为首项，7为公比的等比数列（）中的所有项都是数列中的项，并指出是数列中的第几项．20．解：（I）当时，由已知得．因为，所以．…………………………①于是．…………………………………………………②由②－①得：．………………

2、……………………………③于是．……………………………………………………④由④－③得：．…………………………………………………⑤即数列（）是常数数列．（II）由①有，所以．由③有，所以，而⑤表明：数列和分别是以，为首项，6为公差的等差数列．所以，，．由题设知，．当为奇数时，为奇数，而为偶数，所以不是数列中的项，只可能是数列中的项．若是数列中的第项，由得，取，得，此时，由，得，，从而是数列中的第项．（注：考生取满足，的任一奇数，说明是数列中的第项即可）已知数列和满足：，，，（），且是以为公比的等比数列．（I）证明：；（II）若，证明数列是等比

3、数列；（III）求和：．本小题主要考查等比数列的定义，通项公式和求和公式等基本知识及基本的运算技能，考查分析问题能力和推理能力．解法1：（I）证：由，有，．（II）证：，，，．是首项为5，以为公比的等比数列．（III）由（II）得，，于是．当时，．当时，．故解法2：（I）同解法1（I）．（II）证：，又，是首项为5，以为公比的等比数列．（III）由（II）的类似方法得，，，．．下同解法1．（08湖南卷18）.（本小题满分12分）数列(Ⅰ)求并求数列的通项公式；(Ⅱ)设证明：当解:(Ⅰ)因为所以一般地，当时，＝，即所以数列是首项为1、公差为

4、1的等差数列，因此当时，所以数列是首项为2、公比为2的等比数列，因此故数列的通项公式为(Ⅱ)由(Ⅰ)知，①②①-②得，所以要证明当时，成立，只需证明当时，成立.证法一(1)当n=6时，成立.(2)假设当时不等式成立，即则当n=k+1时，由(1)、(2)所述，当n≥6时，.即当n≥6时，证法二令，则所以当时，.因此当时，于是当时，综上所述，当时，对n要分类讨论的求和问题：（2009江西卷文）（本小题满分12分）数列的通项，其前n项和为.(1)求;(2)求数列｛｝的前n项和.解:(1)由于,故,故()(2)两式相减得故此题第三问可作为已知数列

5、前n项和求其通项及其推广（08天津卷20）（本小题满分12分）在数列中，，，且（）．（Ⅰ）设（），证明是等比数列；（Ⅱ）求数列的通项公式；（Ⅲ）若是与的等差中项，求的值，并证明：对任意的，是与的等差中项．本小题主要考查等差数列、等比数列的概念、等比数列的通项公式及前项和公式，考查运算能力和推理论证能力及分类讨论的思想方法．满分12分．（Ⅰ）证明：由题设（），得，即，．又，，所以是首项为1，公比为的等比数列．（Ⅱ）解法：由（Ⅰ）　　　　　　　　，　　　　　　　　，　　　　　　　　……　　　　　　　　，（）．将以上各式相加，得（）．所以当时，

6、上式对显然成立．（Ⅲ）解：由（Ⅱ），当时，显然不是与的等差中项，故．由可得，由得，　①整理得，解得或（舍去）．于是．另一方面，，　　　　　．由①可得，．所以对任意的，是与的等差中项．