理论力学第十三章

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1、第十三章动量矩定理质点质点系动量定理：外力（外力系主矢）质心运动定理：动量的改变外力（外力系主矢）质心的运动§13-1质点和质点系的动量矩一、质点的动量矩2、质点对定轴的动量矩1、质点对定点的动量矩方向由右手定则确定顺时针为负，逆时针为正动量矩度量物体在任一瞬时绕固定点(轴)转动的强弱。kg·ｍ2/s。——质点系中所有质点对于点O的动量矩的矢量和，二、质点系的动量矩1、质点系对定点的动量矩2、质点系对定轴的动量矩三、刚体的动量矩计算（1）平移刚体对于平移刚体，仅需将刚体质量假想集中于质心，然后按照质点的方法计算动量矩。xz

2、yOC平动刚体对固定点（轴）的动量矩等于刚体质心的动量对该点（轴）的动量矩。证明：∵刚体作平移各点的速度与质心速度相同，得到：xzyOC（2）定轴转动的刚体Jz：刚体绕z轴的转动惯量刚体绕z轴的动量矩等于该刚体对z轴的转动惯量与转动角速度的乘积。令：平面运动刚体对垂直于质量对称平面的固定轴的动量矩，等于刚体随同质心作平动时质心的动量对该轴的动量矩与绕质心轴作转动时的动量矩之和。3．平面运动刚体解：[例1]滑轮A：m1，R1，R1=2R2，J1滑轮B：m2，R2，J2；物体C：m3，v3求系统对O轴的动量矩。§13-2转动惯

3、量一、定义若刚体的质量是连续分布单位：量纲：转动惯量恒为正值二、几种简单形状刚体的转动惯量1、均质细长杆—m，l2、均质薄圆环3、均质薄圆板Z刚体对于任意z轴的转动惯量等于刚体对于通过质心C并与该轴平行的轴的转动惯量加上刚体的质量m与两轴距离d的平方的乘积。三、平行轴定理证明：设质量为m的刚体，质心为C，刚体对通过质心的轴的转动惯量具有最小值。选择题（1）如图所示，均质矩形板质量为，尺寸如图所示。已知薄板对轴的转动惯量。试写出对轴的转动惯量的计算公式。与轴互相平行。（）A.B.C.D.CA.，从轴的正向看为反时针方向B.，

4、从轴的正向看为反时针方向D.，从轴的正向看为反时针方向C.，从轴的正向看为反时针方向（2）如图所示，均质圆板质量为，半径，用长为的无重杆固结在转轴上，并绕该轴转动。已知角速度为，圆板对轴的动量矩为。（）D解：[例2]钟摆：均质直杆m1,l；均质圆盘：m2,R。求JO。注意到：xyzrOA§13-3动量矩定理一、质点的动量矩定理直角坐标投影：xyzrOA质点系对于定点O的动量矩对时间的一阶导数，等于作用在系统上所有外力对于同一点的主矩。二、质点系的动量矩定理——质点系对于定点的动量矩定理。m1mnmim3m2xzyOriFi

5、FnF1F2将上式在通过固定点O的三个直角坐标轴上投影质点系对于定轴的动量矩对时间的一阶导数等于作用在系统上的外力对同一轴的矩的代数和。三、动量矩守恒定理1.是非题（1）质点系的内力不能改变质点系的动量与动量矩。（）（2）若系统的动量守恒，则其对任意点的动量矩一定守恒，若系统对某点的动量矩守恒，则其动量一定守恒。（）【思考题】对错解:取整个系统为研究对象，受力分析如图示。运动分析：v=ｒ由动量矩定理：[例3]已知:解：因猴A与猴B向上的绝对速度是一样的,均为。[例4]已知：猴子A重=猴子B重，猴B以相对绳速度上爬，猴A不

6、动，问当猴B向上爬时，猴A将如何动？动的速度多大？（轮重不计）故系统的动量矩守恒。鼓轮半径为R、转动惯量为J，小车和矿石总质量为m。鼓轮在力偶矩M带动下绕固定轴O转动，轨道的倾角为θ。忽略摩擦。求：小车的加速度[例5]OθMP1P2OθM设圆轮的角速度和角加速度分别为和，小车的速度加速度分别为v和a。鼓轮对O轴的动量矩小车对O轴动量矩系统对O的轴总动量矩解：以鼓轮和小车为研究对象ωP1P2OθMω由系统的受力图系统外力对O轴的矩为：注意到：应用动量矩定理得到：解得：P1P2FNFYFX均质圆轮半径为R、质量为m。圆轮在

7、重物P带动下绕固定轴O转动，已知重物重量为W。求：重物下落的加速度OPW设圆轮的角速度和角加速度分别为和，重物加速度为aP。圆轮对O轴的动量矩重物对O的轴动量矩系统对O的轴总动量矩POWaP解：以圆轮和重物为研究对象系统对O的轴总动量矩应用动量矩定理POWaP得到：aP=R代入§13--4刚体绕定轴转动的运动微分方程αωF1F2FnFiyxz刚体绕z轴转动，轴承的支反力对z轴的力矩恒等于零，由质点系的动量矩定理注意到：得到：刚体定轴转动的运动微分方程上式也可写为：刚体对定轴的转动惯量与角加速度的乘积等于作用于

8、刚体上的主动力对该轴力矩的代数和O例题飞轮的转动惯量为，角速度为，制动时，闸块对轮子的正压力为，闸块和轮子间的摩擦系数为f，轮子的半径为R求：制动所需要的时间解：以轮子为研究对象根据刚体定轴转动运动微分方程积分得：解得：[例7]提升装置中，轮A、B的重量分别为P1、P2,半径分别为r1、r2,可视为均质