理论力学两体问题

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1、第三章两体问题§3.1两体问题化为单粒子问题这样，两体问题分解为两个单粒子问题。§3.2有心力场中单粒子的运动运动方程运动定性讨论讨论粒子在吸引势U=-a/r3中的运动情况解：粒子的有效势能：Ueff=L2/2mr2-a/r3曲线渐近行为r→∞，Ueff→0；r→0，Ueff→-∞。(2)曲线零点：Ueff=0→r=ro=2ma/L2(3)曲线极值：dUeff/dr=0→r=rm=3ma/L2(Ueff)max=L6/54m3a2-a/r3L2/2mr2OE(Ueff)maxrUeffrmror1r2§3.3与距离成反比的有心力场吸引势：U(r)=-a/r有效势能：Ueff

2、=L2/2mr2-a/rr→0，Ueff→+∞；r→∞，Ueff→0。(2)曲线极值：dUeff/dr=0→r=rm=L2/ma(Ueff)min=ma2/2L2(3)曲线零点：Ueff=0→r=ro=L2/2ma-a/rL2/2mr2OE(Ueff)maxrUeffrmror1r2比耐公式——轨道方程比耐公式——轨道方程例：已知引力作用F(r)=-GMm/r2ro，求运行轨迹。解：比耐公式h2u2(d2u/dθ2+u)=GM/r2=GMu2→d2u/dθ2+u=μ/h2(μ=GM)轨迹方程:u=1/r=C1cosθ+C2sinθ+μ/h2齐次解非齐次解取近日点(r极小值)

3、的θ为零.r极小值条件:dr/dθ=0,d2r/dθ2>0.∵d(1/u)/dθ=-(1/u2)du/dθ│θ=0=(1/u2)(C1sinθ-C2cosθ)│θ=0=0→C2=0∴r=(C1cosθ+μ/h2)-1=p/(1+ecosθ)r=p/(1+ecosθ)其中p=h2/μ(正焦弦长度一半),e=C1h2/μ(偏心率)。这是一原点在焦点上的圆锥曲线，力心位于焦点上。e<1椭圆e=1抛物线e>1双曲线抛物线双曲线椭圆补充作业:求e与能量E的关系，即证明：并讨论E与圆锥曲线型的关系.§3.4有心力场中粒子运动轨道的稳定性轨道闭合与轨道稳定轨道稳定的含义:由于初始条件的微

4、小变化或势场本身的扰动，使粒子偏离原轨道ro变为r。若r始终保持在ro附近作小振动，则称此种轨道是稳定的；反之，若随着时间增加，r偏离ro越来越大，则称此种轨道是不稳定的。§3.4有心力场中粒子运动轨道的稳定性设粒子在势场U(Z)中的轨道为u=uo，轨道偏离：u=uo+（为小量）§3.4有心力场中粒子运动轨道的稳定性若A=0，随(从而随t)线性增加；若A<0，随t线性增加。轨道不稳定若A>0，作简谐振动，轨道稳定。轨道稳定条件：讨论U=a/r，A=1>0，轨道稳定。U=-a/r3，A=1–6ma/rL2=1-3rm/r轨道稳定条件A>0变为r>3rm(3)U=

5、kr2，A=1+6mkr4/L2>0轨道永远稳定条件。圆形轨道稳定性条件为：(Ueff=L2/2mr2+U)dUeff/dr=0，dUeff/dr>03dU/dr+d2U/dr2>0或-3F-dF/dr>0OAρφoψ§3.6粒子散射问题设有心力场的力心在O点，由于有心力场对力心是中心对称的，所以轨道对OA是轴对称的。设无穷远处质点速率为v∞，瞄准距离为ρ。OAρφoψ散射要考虑一束速度相同的全同粒子群。假设粒子束在其截面内密度均匀，而各个粒子有不同的瞄准距离，相应有不同的散射角ψ。dρρ假定n为单位时间内通过垂直于束的单位截面积的粒子数，单位时间内落入散射角ψ到ψ+dψ内

6、的粒子数为dN，则定义散射的有效截面为dσ=dN/n，dN个粒子可能来自ρ(ψ)到ρ(ψ)+dρ(ψ)区间内的粒子。假定n为单位时间内通过垂直于束的单位截面积的粒子数，单位时间内落入散射角ψ到ψ+dψ内的粒子数为dN，则定义散射的有效截面为dσ=dN/n，dN个粒子可能来自ρ(ψ)到ρ(ψ)+dρ(ψ)区间内的粒子，即dN=2πnρdρ，所以dσ=2πρdρ=2πρ│dρ/dψ│dψφ到φ+dφ对应的立体角为dΩ=2πsinψdψ因而dσ=(ρ/sinψ)│dρ/dψ│dΩdρρ试求粒子在半径为a的刚性上散射的有效截面φρψ例：卢瑟福公式的推导，即带电粒子在U(r)=a/r

7、场中散射的有效截面。