两体问题.pdf

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1、一维运动一、严格求解一维运动乃是指自由度为1的体系的运动。假设体系处于稳定的外部条件(稳定约束及稳定外场)下Lagrange函数12LAqqUq2假设q为笛卡尔坐标如x，或者假设A(q)为(正)常数m12LmxUx212能量守恒mxUxE2dx2mxdx严格求解EUtt0txxdtm20EUxxt二、定性分析运动范围12TmxEUx0以及初始位置确定了粒子的运动范围2转折点平衡(不稳定)UxEE2运动分类无界运动：一个转折点平衡(稳定)有界运动：两个转折点E1平衡：稳

2、定性E0有界运动的周期x2dxPm2有界运动无界运动x1EU三、例：谐振子11222一维谐振子Emxm0x22总能量不小于零E＝0：稳定平衡x＝0E＞0：有界运动x1≤x≤x2E12E22Em0xxx2122m0xx21xx22dx42dxPm22有界运动的周期001xx222200Emx20211dxx严格求解t22arccosxx2cost0xx0x22三、例：平面单摆A一维谐振子UAcosxApEA有界运动的周期EAEA严格求解EA两体有心力

3、问题一、Lagrange函数考虑不受外力作用的两粒子构成的体系rr和r是相对于空间某一固定点O的位矢质心12r1R和r分别是质心位矢和相对位矢RLagrange函数1122Lmr11mr22Ur1r2m22r22O1122MRrUrLLRr22mrmr1122R质心动能相对于质势能仅与相mm12心的动能对距离有关rrr12m2r1RrRrMm12mmmm121mm111m121orr2RrRrm1m2m1m2mmm122二、两体问题变为中心力问题r

4、1122质心LMRrUrLRrLr221R两体问题可以看作是两个孤立体系运动的合成m质量为M的粒子的匀速直线运动r22O质心或体系整体的平移12LMRR2质量为约化质量μ的粒子在中心力场中的运动，代表体系内部的相对运动12LrUrr2三、两体问题的一些例子m>>m：μ≈m122地球绕太阳，卫星绕地球，电子绕核pm1＝m2：μ＝m1/2e氢原子电子偶素hydrogen与氢原子差别仅在于mp>>me势能U(r)相同转变为中心力问题emmpepememmpeemmmeee电子偶素eemm2

5、eepositronium电子偶素谱与氢原子谱相同，只需m→m/2ee四、三维运动转变为平面问题中心力体系是球对称的L绕过力心的任一轴转动下不变yLagrange函数不依赖于空间中任一特定方向r角动量守恒LrpconstantvectorO角动量方向不变x由角动量定义有r⊥L→r始终在一个平面内选极坐标1222Lagrange函数LrrUr2Lagrange方程dLL2U2Ur:0rrrrdtrrrrdLLd22:0rrldtdt五、约化为

6、一维运动θ为循环坐标：共轭动量p守恒drθL2Oprl角动量大小dA12ldA掠面速度rconst.KeplerⅡdt22Lagrange函数不显含时间t：能量(此处能量等于Jacobi积分)守恒21122212lErrUrrUr22222r径向动能横向动能中心势离心势径向运动等价于粒子在有效势场中的一维运动21lEr2UrUeffr2Ur2eff2rUl2UU2Feff另一种方法:rr3Feffreffrrrr六、定性分析221122ll

7、LrUeffrr2UrUeffr2Ur222r2r能量守恒21122lErUeffrr2Ur222rrdrttrrrtl2r0EUeff2rt径向动能不小于零12rEUr0effEUr2eff画出有效势能曲线例：平方反比力kkUFr2Ureffrr2lkUr有效势能eff22rr无界运动r很小时，1/r2为主要项E2递减rr很大时，－1/r为主要项有界运动E递增1Emin中间有一个极小值圆周运动无界运动