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《数学建模：第六章建模范例三》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、基金最佳使用计划1、问题的提出某校基金会有一笔数额为M元的基金，打算将其存入银行或购买国库券。当前银行存款及各期国库券的利率见下表。银行存款税后年利率（%）国库券年利率（%）活期0.792半年期1.664一年期1.800二年期1.9442.55三年期2.1602.89五年期2.3043.14假设国库券每年至少发行一次，发行时间不定。取款政策参考银行的现行政策。1校基金会计划在年内每年用部分本息奖励优秀师生，每年的奖金额。请你帮助校基金会在如下情况下设计基金使用方案，并对万元，年给出具体结果：1）只存款不购国库券；2）可存款也可购国库券3）学校在基金到位后的第3年要举行百年校庆，基金会希望这一年
2、的奖金比其它年度多20%。要求每年的奖金额大致相同，且在n年末仍保留原基金数额。校基金会希望获得最佳的基金使用计划，以提高22、问题分析综合分析题（一）参照存款年利率数据表可知，定期存款年限越长，存款税后年利率越大。因此，在不影响奖金发放的情况下，应尽可能存年限较长的定期存款，这样才能获得较高的利息。所以，此基金的最佳使用计划是：拿出一部分基金存入一年定期，一年后的本息全部用于发放第一年的奖金，再拿出一部分基金存入二年定期，二年后的本息全部用于发放第二年的奖金，以此类推，且每年发放奖金数额相同，最后一年存入银行的款项在发完奖金后仍然为基金总额M。3分析问题（二）研究题目所给的数据，我们可以发现
3、，同期的国库券年利率明显高于银行存款的年利率，所以首先应考虑尽可能多的购买国库券，但由题意可知，国库券发行的时间不是固定的，若一味的追求高利率，有时反而会增加活期存款所占的比重，所得平均年利率不一定为最优。我们利用逐个分析法研究在每个年限然后归纳出总的公式，并针对具体数值，万元，年，求出最佳存储方案，中最佳的方案，用问题一、二所归纳出的方案，我们只需把第三年的奖金增加20%，再分别代入两个最优方案，就可以求出在两种不同情况下的最佳基金存款方案。43模型假设1）每年发放奖学金一次，且均在年末发放。2）银行发行国库券时间不固定。3）由于近几年国库券销售市场很好，所以，国库券可在发行当日购买。4）国
4、库券在没有到期之前，不得进行贴现。4．模型建立问题一：只存款不购买国库券的情况。定理1一定数额的资金H先存定期年再存定期年和先存定期k年再存定期年，本息和相等。5证明：设分别为定期年和年的年利率，则一定数额的资金H先存定期k年再定期m年的本息和为先存定期m年再存定期k年的本息和为根据乘法交换律定理1得证。6推论1、一定数额的资金H若把存款年限n分成j个存期，其中则n年后本息和与存期顺序无关。定理2、使一定数额的资金H存储n年后本息和最大的存款策略为当n=1时，存定期1年；当n=2时，存定期2年；当n=3时，存定期3年；当n=4时，先存定期3年，然后再存定期1年；当n=5时，存定期5年；7当时，
5、首先存储个5年定期，剩余年限存储情况与时相同。证明：下表中用形如(I,j)的形式表示存款策略，(I,j)表示先存i年定期，再j年定期。8表1银行存款各种存款策略年均利率存款策略银行存款税后年均利率（%）最佳存款策银行存款税后最佳年均利率（%）一年期（1）1.800(1)1.800二年期（1,1）1.816(2)1.944（2）1.944三年期（1,1,1）1.833(3)2.164(2,1)1.919(3)2.160四年期(1,1,1,1)1.849(3,1)2.099(2,2)1.982(3,1)2.099五年期(1,1,1,1,1)1.866(5)2.304(2,2,1)1.974(3,2
6、)2.124(5)2.304六年期(3,3)2.230(5,1)2.255(5,1)2.2559由上表可得，任何最佳存款策略中不能存在以下的存款策略(1,1),(2,1),(2,2),(3,2)和（3,3）。由1,2,3,5四种定期能够组成的策略（5年定期不重复）只能有（1）,（2）,（3）,（3,1）,(5),(5,1),(5,2),(5,3),(5,3,1)九种，它们分别对应n=1到9年的最优存款策略，当时的最佳存款策略只能是首先重复存个定期5年，剩余年限只能是1、2、3、4,当=3时，再存3年定期；当=4时，先存3年定期，再存1年定期。定理2得证。10定理3基金M使用n年的情况，首先把M
7、分成n份其中第份基金存款期限为年，那么只有当第份基金按最优年后策略存款存款的本息和等于当年的奖学金数,并且第n份基金按最佳存款策略存款n年后的本息和等于原基金M与当年的奖学金数之和时，每年发放的奖学金才能达到最多。证明：当n=1时，即将基金存入银行一年后的所得利息全部用于发放奖学金，此种情况显然成立。当时，首先需要证明：第一份基金存入银行1年定期，到期后本息和正好等于奖学金数额即11下面试用反证法
